f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x...
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发布时间：2024-10-10 22:35
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时间：2024-10-15 03:15
（Ⅰ）f1（x）=x2是C函数，证明如下：
对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=（αx1+（1-α）x2）2-αx12-（1-α）x22=-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2=-α（1-α）（x1-x2）2≤0．
即f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f1（x）=x2是C函数．
f2(x)＝1x(x＜0)不是C函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，α＝12，
则f（αx1+（1-α）x2）-αf（x1）-（1-α）f（x2）=f(?2)?12f(?3)?12f(?1)＝?12+16+12＞0．
即f（αx1+（1-α）x2）＞αf（x1）+（1-α）f（x2）．
∴f2(x)＝1x(x＜0)不是C函数．
（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝nm∈[0，1]．
∵f（x）是R上的C函数，an=f（n），且a0=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=nm×2m＝2n．
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
（Ⅲ）∵h（1）+h（2）+…+h（m）≤a对任意给定的正整数m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可．
因为h（m）=m2+m，当m是正整数时，函数值随自变量的增大而增大；
所以h（m）没有最大值．
故h（1）+h（2）+…+h（m）也没有最大值．
所以所求a不存在．
