若lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0,则lim [6+f(x)]/x^2是多少? (x是趋近0...

发布网友 发布时间：2024-10-10 23:01

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热心网友 时间：2024-10-10 23:51

lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0,则lim [6+f(x)]/x^2是36（x是趋近0）

(x→0)lim[sin6x+xf(x)]/x^3=0

属于0-0型，可以应用洛必答法则：(x→0)lim[6cos6x+f(x)+xf'(x)]/(3x^2)=0

(x→0)lim[-36sin6x+f'(x)+f'(x)+xf''(x)]/(6x)=0

(x→0)lim[-216cos6x+2f''(x)+f''(x)+xf'''(x)]/6=0

所以，x→0时：

3f''(x)+xf'''(x)=216

3f''(x)=216

f''(x)=72

所以：(x→0)lim[6+f(x)]/x^2

=(x→0)lim[f'(x)/(2x)]

=(x→0)lim[f''(x)/2]

=72/2

=36

求极限基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

热心网友 时间：2024-10-10 23:49

答：(x→0)lim[sin6x+xf(x)]/x^3=0
属于0-0型，可以应用洛必答法则：(x→0)lim[6cos6x+f(x)+xf'(x)]/(3x^2)=0
(x→0)lim[-36sin6x+f'(x)+f'(x)+xf''(x)]/(6x)=0
(x→0)lim[-216cos6x+2f''(x)+f''(x)+xf'''(x)]/6=0
所以，x→0时：
3f''(x)+xf'''(x)=216
3f''(x)=216
f''(x)=72
所以：(x→0)lim[6+f(x)]/x^2
=(x→0)lim[f'(x)/(2x)]
=(x→0)lim[f''(x)/2]
=72/2
=36

热心网友 时间：2024-10-10 23:54

lim(x->0) [sin6x+xf(x)]/x^3 (0/0)
=lim(x->0) [6cos6x+xf'(x)+f(x)]/(3x^2) (0/0)
=> f(0) = -6

lim(x->0) [6cos6x+xf'(x)+f(x)]/(3x^2) (0/0)
=lim(x->0) [-36sin6x+xf''(x)+2f'(x)]/(6x) (0/0)
=> f'(0)= 0

lim(x->0) [-36sin6x+xf''(x)+2f'(x)]/(6x) (0/0)
=lim(x->0) [-216cos6x+xf'''(x)+3f'(x)]/6 =0
=>-216+ 3f''(0) =0
f''(0) = 72

lim(x->0) [6+f(x)]/x^2 (0/0)
=lim(x->0) f'(x)]/(2x) (0/0)
=lim(x->0) f''(x)/2
=f''(0)/2
=72/2
=36

热心网友 时间：2024-10-10 23:50