高考数学知识点之平面向量

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高考数学知识点之平面向量

考试内容：向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．考试要求：（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式．§05.平面向量知识要点

1.本章知识网络结构2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

y1y2(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.3.向量的运算运算类型向量的加法几何方法1.平行四边形法则2.三角形法则坐标方法运算性质

ab(x1x2,y1y2)

abba

(ab)ca(bc)

ABBCAC向量的减法三角形法则ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB(a)()a1.a是一个向量,满数乘向量足:|a||||a|2.>0时,a与a同向;<0时,a与a异向;=0时,a0.ab是一个数a(x,y)()aaa(ab)aba//bababba(a)ba(b)(ab)向量的数量积1.a0或b0时，ab0.a0且b0时，2.ab|a||b|cos(a,b)abx1x2y1y2(ab)cacbc22a|a|即|a|=x2y2|ab||a||b|4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式设点P分有向线段P1P2所成的比为λ，即P1P＝λPP2，则OP＝11

＋OPOP2(线段的定比分点的向量公式)111xy

x1x2,1(线段定比分点的坐标公式)y1y2.1当λ＝1时，得中点公式：x1x2x,12OP＝（OP1＋OP2）或

2yy1y2.

2

(5)平移公式设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），则OP＝OP+a或

xxh,yyk.

曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：abc

2R.sinAsinBsinC

2

2

2

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.（7）三角形面积计算公式：设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=PPaPbPc[海伦公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图：AAcDIBaEFbCBDraraAbcaEACFcbCOaB

EFraIBNC

1图图2

图3图4图1中的I为S△ABC的内心，S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s为△ABC的半周长,即则：①AE=sa=1/2（b+c-a）②BN=sb=1/2（a+c-b）③FC=sc=1/2（a+b-c）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=abcab（如图3）.2abctanAtanBtanC，结论！1tanAtanBabc]2⑹在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.证明：因为ABC,所以tanABtanC，所以2AC2BDAB2BC⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则ADBDDC.BC证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2AB2BD22ABBDcosB①AB2BC2AC2在△ABC中，由余弦定理有cosB②，②代入①，化简2ABBCAC2BDAB2BC可得，ADBDDC（斯德瓦定理）BC2A图5①若AD是BC上的中线，ma②若AD是∠A的平分线，ta③若AD是BC上的高，ha⑻△ABC的判定：2a12b22c2a2；22B

bcppa，其中p为半周长；bcppapbpc，其中p为半周长.DC

c2a2b2△ABC为直角△∠A+∠B=c2＜a2b2△ABC为钝角△∠A+∠B＜c2＞a2b2△ABC为锐角△∠A+∠B＞222a2b2c2

附：证明：cosC，得在钝角△ABC中，cosC0a2b2c20,a2b2c2

2ab⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.ab2ab22(a2b2)