高中数学基础练习：解三角形

第一章 解三角形 [基础训练A组]

一、选择题

1．在△ABC中，若C90,a6,B30，则cb等于（ ） A．1 B．1 C．23 D．23

2．若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）

001 tanA3．在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状是（ ）

A．sinA B．cosA C．tanA D．

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为600，则底边长为（ ）

3 C．3 D．23 25．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（ ）

A．300或600 B．450或600 C．1200或600 D．300或1500 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A．900 B．1200 C．1350 D．1500 二、填空题

1．在Rt△ABC中，C900，则sinAsinB的最大值是_______________。

2222．在△ABC中，若abbcc,则A_________。

A．2 B．

3．在△ABC中，若b2,B30,C135,则a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则C_____________。 5．在△ABC中，AB0062,C300，则ACBC的最大值是________。

三、解答题

1． 在△ABC中，若acosAbcosBccosC,则△ABC的形状是什么？

abcosBcosAc() baba3．在锐角△ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

2．在△ABC中，求证：

4．在△ABC中，设ac2b,AC3,求sinB的值。

[综合训练B组]

一、选择题

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（ ）

A．1:2:3 B．3:2:1 C．1:3:2 D．2:3:1 2．在△ABC中，若角B为钝角，则sinBsinA的值（ ） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 3．在△ABC中，若A2B，则a等于（ ）

A．2bsinA B．2bcosA C．2bsinB D．2bcosB

4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，则△ABC的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形 5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,则A ( ) A．90 B．60 C．1350 D．1500 6．在△ABC中，若a7,b8,cosC0013，则最大角的余弦是（ ） 14----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

1111 B． C． D． 5867ABab7．在△ABC中，若tan，则△ABC的形状是（ ） 2abA．A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

二、填空题

abc=_______。

sinAsinBsinC2．若A,B是锐角三角形的两内角，则tanAtanB_____1（填>或<）。 3．在△ABC中，若sinA2cosBcosC,则tanBtanC_________。 4．在△ABC中，若a9,b10,c12,则△ABC的形状是_________。

1．若在△ABC中，A60,b1,SABC3,则

062则A_________。 26．在锐角△ABC中，若a2,b3，则边长c的取值范围是_________。

5．在△ABC中，若a3,b2,c三、解答题

1． 在△ABC中，A120,cb,a21,S3，求b,c。

2． 在锐角△ABC中，求证：tanAtanBtanC1。

ABC3． 在△ABC中，求证：sinAsinBsinC4coscoscos。

222ab4． 在△ABC中，若AB1200，则求证：1。

bcacCA3b5．在△ABC中，若acos2ccos2，则求证：ac2b

222ABC0[提高训练C组]

一、选择题

1．A为△ABC的内角，则sinAcosA的取值范围是（ ） A．(2,2) B．(2,2) C．(1,2] D．[2,2]

ab等于（ ） cABABABABA．2cos B．2cos C．2sin D．2sin

22223．在△ABC中，若a7,b3,c8，则其面积等于（ ）

21A．12 B． C．28 D．63

20004．在△ABC中，C90，0A45，则下列各式中正确的是（ ） A．sinAcosA B．sinBcosA C．sinAcosB D．sinBcosB 5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A（ ）

00A．90 B．60 C．1200 D．1500

tanAa26．在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） tanBb22．在△ABC中，若C90,则三边的比

0A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形

二、填空题

1．在△ABC中，若sinAsinB,则A一定大于B，对吗？填_________（对或错）

----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,则△ABC的形状是______________。 3．在△ABC中，∠C是钝角，设xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB, 则x,y,z的大小关系是___________________________。 4．在△ABC中，若ac2b，则cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。 35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,则B的取值范围是_______________。 6．在△ABC中，若b2ac，则cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

三、解答题

1．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，请判断三角形的形状。

222． 如果△ABC内接于半径为R的圆，且2R(sinAsinC)(2ab)sinB,

求△ABC的面积的最大值。

22223． 已知△ABC的三边abc且ac2b,AC，求a:b:c 24．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC33，AB边上的高为43，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长



参考答案与解析

第一章 [基础训练A组]

一、选择题

b1.C tan300,batan30023,c2b44,cb23 a2.A 0A,sinA0

3.C cosAsin(A)sinB,A,B都是锐角，则AB,AB,C

222224.D 作出图形

5.D b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA1,A300或1500 25282721,600,18006001200为所求 6.B 设中间角为，则cos2582二、填空题 1111. sinAsinBsinAcosAsin2A 222b2c2a210,A1200 2.120 cosA2bc2abbsinA620,a4sinA4sin15043.62 A15, sinAsinBsinB404. 120 a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200 令a7k,b8k,c13k cosC2ab2ACBCABACBCAB5. 4 ,,ACBC

sinBsinAsinCsinBsinAsinC----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

2(62)(sinAsinB)4(62)sinABAB cos224cosAB4,(ACBC)max4 2三、解答题

1. 解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0，得A或B

22所以△ABC是直角三角形。

a2c2b2b2c2a22. 证明：将cosB，cosA代入右边

2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2) 得右边c(

2abc2abc2aba2b2ab左边，

abbaabcosBcosA ∴c()

baba3．证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB ∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

ACACBB4.解：∵ac2b,∴sinAsinC2sinB，即2sincos4sincos，

2222B1AC3B13B∴sincos，而0,∴cos，

22242422BB31339∴sinB2sincos2

22448[综合训练B组]

一、选择题

132:1:3:2 1.C A,B,C,a:b:csinA:sinB:sinC:6322222.A AB,AB，且A,B都是锐角，sinAsin(B)sinB 3.D sinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB

sinAsinA4.D lglg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0, sin(BC)0,BC，等腰三角形

225.B (abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

b2c2a21,A600 bca3bc,cosA2bc2222----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

6.C cab2abcosC9,c3，B为最大角，cosB2221 7ABABsinABabsinAsinB22， 7.D tan2absinAsinB2sinABcosAB22ABtanAB2,tanAB0，或tanAB1 tanAB222tan2所以AB或AB

22cos二、填空题

2391133,c4,a213,a13 SABCbcsinAc3222abca13239 sinAsinBsinCsinA3321.

sin(B)22. AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11，tanA,tanAtanB1

sinBtanBtanBsinBsinC3. 2 tanBtanC cosBcosCsinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA  1cosBcosCsinAsinA24. 锐角三角形 C为最大角，cosC0,C为锐角

8433bca311045. 60 cosA

2bc6222(31)2222a2b2c213c2222226．(5,13) acb,4c9,5c13,5c13 c2b2a2c2942222三、解答题

1bcsinA3,bc4, 2222 abc2bccosA,bc5，而cb

所以b1,c4

1.解：SABC2. 证明：∵△ABC是锐角三角形，∴AB2,即

2A2B0

----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

∴sinAsin(2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB) 22ABABABAB 2sin cos2sincos2222ABABAB 2sin(coscos)

222CAB 2cos2coscos

222ABC 4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

222a2acb2bcab1， 4．证明：要证1，只要证2abbcaccbcac即a2b2c2ab

0而∵AB120,∴C600

3. 证明：∵sinAsinBsinC2sina2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3b ccos22221cosC1cosA3sinB ∴sinA sinC222 即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB ∴sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB，∴ac2b

5．证明：∵acos2[提高训练C组]

一、选择题

1.C sinAcosA2sin(A),

452sin(A)1 而0A,A44424absinAsinB2.B sinAsinB

csinCABABAB 2sin cos2cos222113.D cosA,A600,SABCbcsinA63

220004.D AB90则sinAcosB,sinBcosA，0A45,

00 sinAcosA，45B90,sinBcosB

----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

5.C a2c2b2bc,b2c2a2bc,cosA,A1200

12sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB 6.B

cosAsinBsin2BcosAsinB sin2Asin2B,2A2B或2A2B

二、填空题

1. 对 sinAsinB,则2. 直角三角形

ababAB 2R2R1(1cos2A1cos2B)cos2(AB)1, 21(cos2Acos2B)cos2(AB)0, 2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0 cosAcosBcosC0

3. xyz AB22 cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACAC4．1 sinAsinC2sinB,2sin cos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221AC则sinAsinC4sin2sin2 3221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC5. [,) tan2BtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanC tanBtan(AC)

tan2B1tan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB 3226．1 bac,sinBsinAsinC,cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinC cosAcosCsinAsinCcosB1 cos(AC)cosB11

tan3B3tanB,tanB0tanB3B,AB,sinAcosB,sinBcosA,yz



三、解答题

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A,21. 解：2 22absin(AB)bcosAsinBsinB----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

cosBsinA,sin2Asin2B,2A2B或2A2B cosAsinB∴等腰或直角三角形

2. 解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab, sinC2R22222R2abab2ab,ab

22222

2121222R2R SabsinCab,Smax224422122ab2RsinA2RsinB 另法：SabsinC24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB 412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]22

22R2(1)22212SmaxR 此时AB取得等号

2ACACACAC3. 解：sinAsinC2sinB,2sin cos4sincos2222B1AC2B14BB7sincos,cos,sinB2sincos

2224242243BBAC,ACB,A,C

2424233371sinAsin(B)sincosBcossinB

444471sinCsin(B)sincosBcossinB

4444a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

14. 解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB,B600

2tanAtanC33,3, tan(AC)1tanAtanC1tanAtanC tanAtanC23，联合tanAtanC33 ----完整版学习资料分享----

资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

00tanA23tanA1A75A45 得，即 或或00tanC1tanC23C45C75434(326),c8(31),a8 sinA430046,c4(31),a8 当A45,C75时，bsinA000∴当A75,B60,C45时，a8,b4(326),c8(31),

当A75,C45时，b00当A45,B60,C75时，a8,b46,c4(31)。

000

----完整版学习资料分享----