《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解

[习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

[习题7-1（a）]

解：A点处于单向压应力状态。

ANF2F4F2 12Add4A

[习题7-1（b）]

解：A点处于纯剪切应力状态。 ATT16T3 1WPdd316A 168106Nmm79.618MPa

3.14803mm3[习题7-1（b）]

解：A点处于纯剪切应力状态。

MA0

RB1.20.820.40 RB1.333(kN)

QARB1.333(kN)

A1.5Q1333N1.50.417MPa 2A40120mmA

B点处于平面应力状态

MBy1.3330.3106Nmm30mmB2.083MPa1Iz401203mm412B BBQS1333N(4030)45mm0.312MPa

1Izb3440120mm40mm12*z3[习题7-1（d）]

解：A点处于平面应力状态

MA39.3103NmmA50.064MPa

1Wz3.14203mm332AA AT78.610Nmm50.064MPa 1WP3.14203mm31603[习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为40mm5mm的矩形。在与轴线成45角的面上切应力150MPa时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F。 解：x 450F；y0；x0 Axy2sin900xcos900

450F 2AF150 2A22出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，

450 F300A300N/mm405mm60000N60kN

[习题7-3] 一拉杆由两段沿mn面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于0~600范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4，且这一拉杆

的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？ 解：x F；y0；x0 Axy2xy2cos2xsin2

FFF1cos2cos2[] 2A2AA2F1cos2[]

A2Fcos2[] A[]A Fcos2[]A Fmax,Ncos2 xy2sin2xcos2

F3sin2[][] 2A41.5[]A Fsin21.5[]A Fmax,Tsin20（） Fmax,N（[]A） Fmax,T（[]A）

0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 47.754 4.386 2.334 1.732 1.562 1.704 2.420 4.000 1.523 1.523 1.732 最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当60时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

0Fmax1.732[]A

[习题7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力[]0.5[]，而[]7MPa，[]14MPa，则值应取多大？若杆的横截面面积为1000mm，试确定其最大许可荷载。 解： 由上题计算得：Fmax,N 2[]A 2cosxy2sin2xcos2

Fsin2[]0.5[] 2A[]A Fsin2[]A Fmax,Tsin20.9 10 20 26.565051 1.250 1.250 30 40 50 60 4.000 1.155 （0） Fmax,N（[]A） 1.000 1.031 1.132 Fmax,T（[]A） 31.836 2.924 1.556 1.333 1.704 2.420 1.155 1.015 1.015 最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当26.565051时，杆能承受最大荷载，

22该荷载为： Fmax1.25[]A1.2514N/mm1000mm17500N17.5kN

0[习题7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面mn上正应力及切应力的计算公式。设截面mn的法线与x轴成角如图所示（作图时可设|y||x|）。 解：坐标面应力：X（x，0）；Y（y，0）

设mn斜面的应力为M（，）。X、Y点 作出如图所示的应力圆。

由图中的几何关系可知：

NO(O1OO1N)

(|x|xy2xy2cos2)

(xxy2xy2cos2)

(2xxy2xy2cos2)

xy2xy2cos2

OMsin2xy2sin2

[习题7-6] 某建筑物地基中的一单元体如图所示，y0.2MPa（压应力），

x0.05MPa（压应力）。试用应力圆求法线与x轴成顺时针600夹角且垂直于纸面的

斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。 解：坐标面应力：X（-0.05，0）；Y（-0.2，0）

600。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表0.05MPa。 按比例尺量得斜面的应力为：

600.1625MPa

0600.065MPa

0按习题7-5得到的公式计算如下：

xy2xy2cos2

6000.050.20.050.2cos(1200)0.1625MPa

222sin2

0xy600.050.2sin(1200)0.065MPa

2作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。

[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

My12My12100.72106Nmm40mm 10.55MPa 334Izbh80160mm*QSz10103N(8040)60mm30.88MPa 1Izb801603mm480mm12（2）写出坐标面应力 X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

110.66MPa 30.06MPa 04.750

[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）]

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）60。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

012025MPa， 12026MPa；120MPa，340MPa；000。

00

[习（b）] 解：坐应力：30）；-30）

3题7-8标面X（0，Y（0，

1

单元体图

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

300。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例

尺量得斜面的应力为：

6026MPa ，6015MPa；130MPa，330MPa； 0450。

00

[习题7-8解：坐标面应0）；Y（-50，

（c）]

力：X（-50，

30。0）

0 根据以上数据作出如图

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6050MPa ，600；250MPa，350MPa。

00 [习7-8

3题

2

单元体图

（d）]

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）0。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

0应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

4540MPa ，4510；039035'。361MPa；141MPa,20MPa，

00

[习题7-9] 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系 求： （1）主应力的数值；

（2）在单元体上绘

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-9（a）]

解：坐标面应力：X（130，70）；Y（0，-70）。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

1160.5MPa,20MPa，330.5MPa；023056'。

[习题7-9解：坐标（-140， （0，80）。数据作出 的应 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

力

比例尺为1cm代表40MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

（b）] 面应力：X-80）；Y根据以上如图所示圆。图中

136.0MPa,20MPa，3176MPa；065.60。

[习题解：坐标

X（-20，（-50，

据以上

出如图单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

7-9（c）] 面应力：-10）；Y10）。根数据作所示的

10MPa,216.25MPa，353.75MPa；016.10。

[习题7-9解：坐标面

（80，30）；-30）。根据作出如 应 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

力圆。

尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

（d）] 应力：XY（160，据以上数图所示的图中比例

1170MPa,270MPa，30MPa；071.60。

[习题知平面应 某点处的单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 的的应力

示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角

7-10] 已力状态下两个截面如图所值。

平面应力状态下的两斜面应力 应力圆

解：两斜面上的坐标面应力为：

A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C

点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：

(x38)2(028)2(x114)2(048)2

解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径：

r(8638)2(028)255.570

主应力为：

1xr8655.57141.57MPa

2xr8655.5730.43MPa 30

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角）

（上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-11] 某点处的应力如图所示，设,及y值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。 解：

X0

xcossin0…………(1)

Y0

ysincos0…………(2)

(1)、（2）联立，可解得x和。

至此，三个面的应力均为已知：X（x，0），Y（y，0）（x，y均为负值）；

（,）。由X，Y面的应力就可以作出应力圆。

[习题7-12] 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。试示mm上

a,b,c三点处的主应力。

解：（1）求

a点的主应力

Iz1311bh1202203110200333146666.7(mm4) 121212 WzIz33146666.7301333.3336(mm3) ymax110M1600.4106Nmm a212.390MPa 3Wz301333.3336mm 因a点处于单向拉伸状态，故1212.39MPa，230。 （2）求b点的主应力

My1600.4106Nmm100mm b193.081MPa

Iz33146666.7mm3 在mm的左邻截面上，Q160kN

*QSz160103N(12010)105mm3 b60.821MPa 4Izd33146666.7mm10mm 即坐标面应力为X（193.081,60.821）,Y(0,-60.821). 1zy212(xy)24x 2193.0811193.0812460.8212210.64MPa 22 20

3zy212(xy)24x 2193.0811193.0812460.821217.56MPa 22（3）求c点的主应力

c0

*QSz160103N(120101051010050)mm3c84.956MPa

Izd33146666.7mm410mm即坐标面应力为X（0,84.956）,Y(0,-84.956). 1zy212(xy)24x 21484.956284.956MPa 2 20

3zy212(xy)24x 21484.956284.956MPa 2[习题7-13] 在一块钢板上先画上直径d300mm的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性模量E206GPa，0.28。

解：坐标面应力X（70，21），Y（14，-21）

所画的圆变成椭圆，其中

（长轴） （短轴）

[习题7-14] 已知一受力构件表面上某点处的x80MPa，y160MPa，z0，单元体的三个面上都没有切应力。试求该点处的最大正应力和最大切应力。 解：最大正应力为1x80MPa。最小正应力是3y160MPa。

最大切应力是max

[习题7-15] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。

[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

13280(160)120(MPa)

2

由XY平面内应力值作得圆心C（50，0） 应力圆半径：

a、b点，连接a、b交 轴

单元体图

应力圆

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

单元体图

应力圆

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0） 应力圆半径：

[习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

单元体图

应力圆

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

[习题7-16] 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。

[习题7-16(a)]

解：该点处于三向应力状态：170MPa，250MPa，310MPa。A点所代表的截面平行于1的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。

2 A 1

3 应力圆

[习题7-16(b)]

主单元体图与A截面的位置

解：该点处于三向应力状态：150MPa，210MPa，310MPa。A点所代表的截面平行于3的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。

2 A 1

300 3 主单元体图与A截面的位置

应力圆

[习题7-17] 有一厚度为6mm的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa及55MPa。钢材的弹性常数为E210GPa，0.25。试求钢板厚度的减小值。 解：zE(xy)0.25(150MPa55MPa)2.44104 321010MPa钢板厚度的减小值为：

|z|62.441041.464103(mm)

[习题7-18] 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力F14kN作用。已知0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。

解：

（1）

（2） 联解式（1），（2）得

[习题7-19] 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力F20kN时，测得试样中段B点处与其轴线成30方向的线应变为3003.25104。已知材料的弹性模量E210GPa，

0试求泊松比。

解：平面应力状态下的广义虎克定律x方向，故有：3001(xy)适用于任意两互相垂直的x,yE1(300600)。钢杆处于单向拉应力状态： E20103拉杆横截面上的正应力 100MPa

2010斜截面上的应力 30cos3075MPa

60cos60由广义虎克定律 302225MPa

160 E301210103 3.251047525

解得： 0.27

[习题7-20] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。已知材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩 。

解： 方向如图

[习题7-21] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿45方向的线应变为450。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力偶矩Me。

解：支座反力： RA0MeMe （↑）；RB （↓） llK截面的弯矩与剪力： MkRAaaMeMe；QkRA llK点的正应力与切应力： 0；1.5Qk3Me A2Al故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

1zy23Me12(xy)24x 22Al 20

3zy23Me12(xy)24x 22Altan202x

xy0450 （最大正应力1的方向与x正向的夹角），故

45101(13) E4503Me3Me13Me[(()](1) E2Al2Al2EAl2EAl4503(1)2Ebhl0

3(1)45Me[习题7-22] 一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的E210GPa，0.3。试问其体积减小多少？

解：体积应变

=

[习题7-23] 已知图示单元体材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面内，求出最大与最小应力：

maxzy212(xy)24x 2 max70301(7030)24(40)294.721(MPa) 22minzy212(xy)24x 2max70301(7030)24(40)25.279(MPa) 22故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。

单元体的形状改变能密度： vd

1[(12)2(23)2(31)2] 6E10.3222[(94.72150)(505.279)(5.27994.721)]36200100.01299979MPa12.99979kNm/m3 [习题7-24] 从某铸铁构件内的危险点取出的单元体，各面上的应力分量如图所示。已知铸铁材料的泊松比0.25，许用拉应力[t]30MPa，许用压应力[c]90MPa。试按第一和第二强度理论校核其强度。

解：坐标面应力：X（15，15），Y（0，-15） 1151152415224.271(MPa) 22 20

315115241529.271(MPa) 22第一强度理论：

因为 124.271(MPa)，[t]30MPa，即1[t]， 所以 符合第一强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。 第二强度理论：

因为 u1(23)24.2710.25(09.271)26.589(MPa)， [t]30MPa，即1(23)[t]，

所以 符合第二强度理论的强度条件，构件不会破坏，即安全。

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为[]170MPa，[]100MPa 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按a点的位置计算。

'

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：RARB1(550550408)710(kN) （↑） 2

=

Iz11240840323080032040746670(mm4)2.04103m4 1212（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

1Mmax710455034042870(kNm)

2Mmaxymax870103Nm420103mmax179MPa 34Iz2.0410m

超过 的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度

超过 的3.53%，在工程上是允许的。

[习题7-26] 已知钢轨与火车车轮接触点处的正应力1650MPa，2700MPa，

3900MPa（参看图7-7）。若钢轨的许用应力[]250MPa。试按第三强度理论

与第四强度理论校核其强度。 解：按第三强度校核：

13650(900)250(MPa)[]

符合第三强度理论所提出的强度条件，即安全。

1[(12)2(23)2(31)2] 21[(650700)2(700900)2(900650)2]2

229.129(MPa)[]250MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-27] 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A（图a）处的应力状态如图b所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得 。已知钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比 =0.3，许用应力 。试按第三强度理论校核A点的强度。

E2.1109(xy)(1.881040.37.37104)62.8MPa 解： x22110.3E2.110944y()(7.37100.31.8810)183MPa yx22110.3 ， ，

根据第三强度理论：

超过 的7.64%，不能满足强度要求。

[习题7-28] 设有单元体如图所示，已知材料的许用拉应力为[t]60MPa，许用压应力为[c]180MPa。试按莫尔强度理论校核其强度。 解：坐标面应力：X（-70，-50），Y（0，50）。 1 1xy212xy4x

22701227024(50)2

3561.0326.03(MPa)

3701227024(50)23561.0396.03(MPa)

莫尔强度理论的相当应力： rM1[t]60326.03(96.03)58.04(MPa) [c]180因为 rM58.04(MPa)，[t]60MPa，即rM[t]，

所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-29] 图示两端封闭的铸铁薄壁圆筒，其内径D100mm，壁厚10mm，承受内压力p5MPa，且两端受轴向压力F100kN作用。材料的许用拉应力

[t]40MPa，泊松比0.25。试按第二强度理论校核其强度。

解：在内压力作用下，任一点产生的应力为：

x'ypD510025(MPa) （径向） 2210pD12.5(MPa) （纵向） 4'但薄壁圆筒除在内压力作用下产生y之外，又在轴向压力 作用下产生压应力：

F100103Pa28.9MPa

3.14A(12021002)1064\"y 在内压力与轴向压力共同作用下，薄壁圆筒内壁处某一点产生的应力： 125(MPa) 2p5(MPa)

' 3y\"y12.528.916.4MPa

用第二强度理论校核：

r21(23)250.25(516.4)30.4MPa[t]40MPa

故，该薄壁容器满足强度要求。

[习题7-30] 在题7-29中试按莫尔强度理论进行强度校核。材料的拉伸与压压缩许用应力分别为[t]40MPa以及[c]160MPa。 解：莫尔强度理论的相当应力： rM1[t]40325(16.4)29.1(MPa) [c]160因为 rM29.1(MPa)，[t]40MPa，即rM[t]， 所以 符合莫尔强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-31] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且Me1Fd。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆10直径d10mm，材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载F和Me。若其许用应力[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F和Me的大小：

Me在k点处产生的切应力为：

max16MeT16T16Fd8F3 WPdd3d3105d2F在k点处产生的正应力为：

F4F Ad28F8F4F即：X（，），Y （0，） 2225d5dd广义虎克定律：

3001(300600) E2 xyxy2cos2xsin2

3002F2F8F(1543)F00cos60sin6013.967103F(MPa) 2222dd5d5d （F以N为单位，d以mm为单位，下同。） 6002F2F8F(543)F003cos(120)sin(120)1.22810F d2d25d25d214.3310514.33102133[13.96710F0.31.22810F] 320010F(13.9670.31.228]) 32001014.331026.7993105F

F2107.570N2.108kN

11MeFd2108N10mm2108Nmm2.108Nm

1010按第四强度理论校核杆件的强度：

x8F82108N10.741(MPa) 5d253.14102mm24F42108Nx226.854(MPa) 22d3.1410mm1xy212xy4x

22126.85412226.85424(10.741)230.622(MPa)

20

326.85412226.85424(10.741)2

3.768(MPa)

1[(12)2(23)2(31)2] 21[(30.6220)2(03.768)2(3.76830.622)2]2

32.669(MPa)[]160MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题7-32] 内径D60mm、壁厚1.5mm、两端封闭的薄壁圆筒，用来做内压力和扭转联合作用的试验。要求内压力引起的最大正应力值等于扭转力偶矩所引起的横截面切应力值的2倍。当内压力p10MPa时，筒壁的材料出现屈服现象，试求筒壁中的最大切应力及形状改变能密度。已知材料的E210GPa，0.3。

解：内压力引起的最大正应力：

pD1060100(MPa) （轴向应力） 441.5pDy1200(MPa) （环向应力）

2x径向应力z0

依题意：扭矩引起的切应力x为：y2x，x100MPa。 主应力：

1xy212xy4x

2211002001100200241002261.803(MPa) 22100200110020024100238.197(MPa) 22230

筒壁中的最大切应力： max132261.803130.9015131(MPa) 2形状改变能密度：

vd1[(12)2(23)2(31)2] 6E10.3222[(261.80338.197)(38.1970)(0261.803)]36210100.123808971MPa124kNm/m3