2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文科 (新课标Ⅰ卷) word版含答案、解析

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合Mx1x3， Nx2x1，则MA. (2,1) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3) 【答案】：B

N（ ）

【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得M

（2）若tan0，则

N (-1,1),选B

A. sin0 B. cos0 C. sin20 D. cos20 【答案】：C

【解析】：由tan0可得:kk

(kZ)，故2k22 k(kZ)， 2正确的结论只有sin 20. 选C

（3）设z1i，则|z| 1iA.

123 B. C. D. 2 222【答案】：B

11i11iii【解析】：z1i222

211，z，选B

22222x2y21(a0)的离心率为2，则a （4）已知双曲线2a3A. 2 B. 【答案】：D

65 C. D. 1 22a23【解析】：由双曲线的离心率可得2，解得a1，选D.

a

（5）设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是

A. f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x) 是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 【答案】：C

【解析】：设F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴F(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)为奇函数，选C.

（6）设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，则EBFC A. AD B. 【答案】：A

【解析】：EBFCECBCFBBCECFB =

（7）在函数①ycos|2x|，②y|cosx| ，③ycos(2x最小正周期为的所有函数为

A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】：A

【解析】：由ycosx是偶函数可知ycos2xcos2x ，最小正周期为， 即①正

11AD C. BC D. BC 22111ABACABACAD, 选A. 222),④ytan(2x)中，

64确；y | cos x |的最小正周期也是，即②也正确；ycos2x最小正周期为

6,即③正确；ytan(2x)的最小正周期为T,即④不正确.

42即正确答案为①②③，选A

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【答案】：B

【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

9.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.

2016715 B. C. D. 3528【答案】：D

【解析】：输入a1,b2,k3；n1时：M1133,a2,b； 22228383315815n2时：M2,a,b；n3时：M,a,b；

33232883815n4时：输出M . 选D.

82

10.已知抛物线C：yx的焦点为F,AA. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】：A

【解析】：根据抛物线的定义可知AFx0x,y是C上一点，AF5，则xx40000 （ ）

15x0，解之得x01. 选A. 44

11.设x，y满足约束条件xya,且zxay的最小值为7，则a

xy1, （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3 【答案】：B

【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.

a1a1在平面区域内，平移直线xay0，可知在点 A,处，z 取得最值，

22a1a1a7,解之得a 5或a 3.但a 5时，z取得最大值，故舍去，答22案为a 3. 选B.

故

（12）已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值 范围是

（A）2, （B）1, （C）,2 （D）,1 【答案】：C

2【解析1】：由已知a0，f(x)3ax6x，令f(x)0，得x0或x2， a当a0时，x,0,f(x)0;x0,22,f(x)0;x,,f(x)0； aa且f(0)10，f(x)有小于零的零点，不符合题意。

当a0时，x,22,f(x)0;x,0,f(x)0;x0,,f(x)0 aa2a2要使f(x)有唯一的零点x0且x0＞0，只需f()0，即a4，a2．选C

32【解析2】：由已知a0，f(x)=ax3x1有唯一的正零点，等价于a311 xx3有唯一的正零根，令t13，则问题又等价于at3t有唯一的正零根，即ya与xyt33t有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记f(t)t33t

f(t)3t23，由f(t)0，t1，t,1,f(t)0;t1,1,f(t)0;，

t1,,f(t)0，要使at33t有唯一的正零根，只需af(1)2，选C

第II 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.

2 3【解析】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A， C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列方法，其中

【答案】：

2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为P

42. 63（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】：A

【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市 ∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

ex1,x1,（15）设函数fx1则使得fx2成立的x的取值范围是________.

3x,x1,【答案】：,8 【解析】当x 1时，由e13x12可得x 1ln 2，即x ln 21，故x 1；

当x 1时，由f (x) x2可得x 8，故1x 8，综上可得x 8

（16）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得 M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN________m.

【答案】：150

【解析】在直角三角形 ABC 中，由条件可得AC1002，在△MAC 中，由正弦

定理可得

AMAC3，故在直角△MAN AMAC1003，sin600sin18006007502中，MNAMsin600150.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x5x60的根。

2（I）求an的通项公式； （II）求数列an的前n项和. n22【解析】：（I）方程x5x60的两根为2,3,由题意得a22，a43，设数列an的

31a1公差为 d,，则a4a22d，故d=，从而2，

2所以an的通项公式为：an(Ⅱ)设求数列则：Sn1n1 …………6 分 2ann2ann1， 的前项和为Sn,由(Ⅰ)知nnn222345n1n2n1 234n222221345n1n2Sn345n1n2 两式相减得 2222221311Sn342422所以Sn21n2311n2 12n12n2442n12n2n4 ………12分 n12（18）（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 频数 [75，85) 6 [85，95) 26 [95，105) 38 [105，115) 22 [115，125) 8 （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【解析】：（I）

…………4分

（II）质量指标值的样本平均数为

x800.06900.261000.381100.221200.08100 .

质量指标值的样本方差为

s2200.06100.2600.38100.22200.08104…10 分

2222(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定. …………….12 分

19(本题满分12分)

如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.

（I）证明：B1CAB;

（II）若ACAB1,CBB160,BC1,

求三棱柱ABCA1B1C1的高.

【解析】：（I）连结BC1，则O为BC1与B1C的交点，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，又AO平面BB1C1C，故

B1CAOB1C平面ABO，由于AB平面ABO，

故B1CAB ………6分 （II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.

因为CBB160,,所以△BC1CBB1为等边三角形,又

BC=1,可得OD=3，由于ACAB1，所以4OA11721B1C，由 OH·AD=OD·OA,且ADOD2OA2，得OH= 22414又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为2121,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 77……………………….12 分

20.（本小题满分12分）

已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. （I）求M的轨迹方程；

（II）当OPOM时，求l的方程及POM的面积

2【解析】：（I）圆C的方程可化为xy416,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

2设M(x,y),则CM(x,y4)，MP(2x,2y)，,由题设知CMMP0,故

x2xy42y0，即x1y32

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是x1y32 ………… 6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.

因为ON 的斜率为3,所以l的斜率为为：y22221,直线l的方程318x 33又OMOP22，O到l的距离为所以POM的面积为：

21（12分）

设函数fxalnx为0

（I）求b;

（II）若存在x01,使得fx0【解析】（I）f(x)：

410410，PM， 5516. ……………12分 51a2xbxa1，曲线yfx在点1，f1处的切线斜率2a，求a的取值范围。 a1a(1a)xb，由题设知 f(1)0,解得b 1. ……………4 分 x1a2xx， (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知, f(x)alnx2f(x)a1aa(1a)x1xx1 xx1a1a1，故当x(1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增. ，则

21aaa1aa1所以,存在x01, 使得 f(x0)的充要条件为f(1)，即

1a1a21a(i)若a所以21 a 2 1;

1aaaa1，则1，故当x(1, ,))时, f '(x) <0 , x(21a1a1aaa,单调递增. 时,f(x)0,f (x)在(1, )上单调递减，f (x)在

1a1aaaa)所以,存在x01, 使得 f(x0)的充要条件为f(，而

1a1a1a(ii)若

aaa2aa，所以不和题意. f()aln1a1a21a1a1a(ⅲ) 若a1，则f(1)1a1aa1。 22a1综上，a的取值范围为：21,211,

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE. （I）证明：DE；

BMC（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且M证明：ABC为等边三角形.

【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以

，

D=CBE，由已知得，CBE=E ,

所以D= ……………5分

知MN⊥

N（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=

所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故

OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=由(Ⅰ)（1）知D=E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2tx2y21，直线l:已知曲线C:（t为参数） 49y22t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：x2cos （为参数），

y3sin直线l的普通方程为：2xy60 ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为

d54cos3sin6， 5d255sin6sin3005，其中为锐角．且tan则|PA|4. 3当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为

225； 5当sin1时，|PA|取得最小值，最小值为

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若a0,b0,且

3325. …………10分 511ab ab（I）求ab的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 由ab112，得ab2，且当ab2时等号成立， abab故a3b33a3b342，且当ab2时等号成立，

∴ab的最小值为42. ………5分 （Ⅱ）由62a3b26ab，得ab333，又由(Ⅰ)知ab2，二者矛盾， 2所以不存在a,b，使得2a3b6成立. ……………10分