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恩施市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

2022-08-23 来源:品趣旅游知识分享网
精选高中模拟试卷

恩施市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且与

( )

B.同向平行

A.互相垂直 C.反向平行

=2

=2

=2

,则

D.既不平行也不垂直

2. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;

(Ⅱ)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.

【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算;用空间向量求直线间的夹角、距离.

3. 执行如图所示的程序框图,若a=1,b=2,则输出的结果是( )

A.9

B.11 C.13 D.15

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4. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( ) A.232

B.252

C.472

D.484

5. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,(单位:cm),则此几何体的表面积是( )

A.8cm2 B.6. 设命题p:A.C.

cm2 C.12 cm2

B. D.

D.,则

cm2 p为( )

7. AD,BE分别是ABC的中线,若ADBE1,且AD与BE的夹角为120,则ABAC=( ) (A)

8. “x>0”是“

1428 ( B ) (C) (D) 3939

>0”成立的( )

B.必要非充分条件

A.充分非必要条件

C.非充分非必要条件 D.充要条件

9. 某大学数学系共有本科生1000人,其中一、二、三、四年级的人数比为4:3:2:1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本,则应抽取三年级的学生人数为( ) A.80 B.40 C.60 D.20

10.下列函数中,为奇函数的是( )

A.y=x+1 B.y=x2 C.y=2x D.y=x|x|

11.已知x∈R,命题“若x2>0,则x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是( ) A.0

B.1

C.2

D.3

=

+x

+y

12.如图所示,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E为上底面对角线A1C1的中点,若则( )

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A.x=﹣ B.x= C.x=﹣ D.x=

二、填空题

13.设函数f(x)=

,则f(f(﹣2))的值为 .

,且|ω|=5

,则复数ω= .

14.已知z,ω为复数,i为虚数单位,(1+3i)z为纯虚数,ω=

的模为 .

15.已知i是虚数单位,复数

16.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意的正整数n,都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期为T的周期数列.已知数列{an}满足:a1>=m (m>a ),an+1=

,现给出以下三个命题:

①若 m=,则a5=2;

②若 a3=3,则m可以取3个不同的值; ③若 m=

,则数列{an}是周期为5的周期数列.

其中正确命题的序号是 .

17.抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x= .

18.函数f(x)(xR)满足f(1)2且f(x)在R上的导数f'(x)满足f'(x)30,则不等式

f(log3x)3log3x1的解集为 .

【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题,本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求,难度大.

三、解答题

19.如图,椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率e=

,且椭圆C的短轴长为2.

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(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设P,M,N椭圆C上的三个动点.

(i)若直线MN过点D(0,﹣),且P点是椭圆C的上顶点,求△PMN面积的最大值;

(ii)试探究:是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.

20.已知函数f(x)=ax2+2x﹣lnx(a∈R). (Ⅰ)若a=4,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)若f′(x)在(0,1)有唯一的零点x0,求a的取值范围;

(Ⅲ)若a∈(﹣,0),设g(x)=a(1﹣x)2﹣2x﹣1﹣ln(1﹣x),求证:g(x)在(0,1)内有唯一的零点x1,且对(Ⅱ)中的x0,满足x0+x1>1.

21.已知椭圆的离心率,且点在椭圆上.

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(Ⅰ)求椭圆的方程;

交于

两点,且线段

的垂直平分线经过点

.求

为坐标原点)

(Ⅱ)直线与椭圆面积的最大值.

22.某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍,由于地理位置的限制,鸡舍侧面的长度x不得超过7m,墙高为2m,鸡舍正面的造价为40元/m,鸡舍侧面的造价为20元/m,地面及其他费用合计为

2

2

1800元.

(1)把鸡舍总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?

23.已知集合A={x|x2+2x<0},B={x|y=(1)求(∁RA)∩B;

(2)若集合C={x|a<x<2a+1}且C⊆A,求a的取值范围.

24.(本题满分14分)已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点,过曲线C上一点M(x,y)作y

}

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轴的垂线,垂足为N,点E满足ME(1)求曲线C的方程;

2MN,且QMPE0. 33,求AOB面积的最大值. 2(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为

【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系,本题知识交汇性强,最值的求解有一定技巧性,同时还要注意特殊情形时三角形的面积.总之该题综合性强,难度大.

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恩施市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题

1. 【答案】D

△ABC中,

=2

=2

=2

反向共线.

【解析】解:如图所示,

根据定比分点的向量式,得 ==

+

=,

+ = , 与

, +

以上三式相加,得 +所以,

+

=﹣

【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题,是基础题目.

2. 【答案】

【解析】解:(I)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD, 又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC 所以BO=1,AO=OC=坐标系O﹣xyz,则

,0),B(1,0,0),C(0,

(II)设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2,

,0)

以O为坐标原点,分别以OB,OC为x轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角P(0,﹣,2),A(0,﹣ 所以=(1,,﹣2),

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设PB与AC所成的角为θ,则cosθ=|(III)由(II)知则则所以

=0, 令

设平面PBC的法向量=(x,y,z)

,设

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0,即﹣6+.

=0,解得t=

,因为平面PBC⊥平面PDC,

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

3. 【答案】C

【解析】解:当a=1时,不满足退出循环的条件,故a=5, 当a=5时,不满足退出循环的条件,故a=9, 当a=9时,不满足退出循环的条件,故a=13, 当a=13时,满足退出循环的条件, 故输出的结果为13, 故选:C

【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.

4. 【答案】 C

【解析】【专题】排列组合. 【分析】不考虑特殊情况,共有

种取法,由此可得结论.

【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有色卡片,共有

种取法,

种取法,其中每一种卡片各取三张,有

种取法,两种红

种取法,两种红色卡片,共有

种取法,其中每一种卡片各取三张,有

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故所求的取法共有故选C. 5. 【答案】C

﹣=560﹣16﹣72=472

【点评】本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 【解析】解:由已知可得:该几何体是一个四棱锥, 侧高和底面的棱长均为2,

2

故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm,

故选:C.

【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积,空间几何体的三视图,根据已知判断几何体的形状是解答的关键.

6. 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题,故答案为:A

p为:

7. 【答案】C

221ABADBEAD(ABAC),332【解析】由, 解得142BE(2ABAC),ACADBE23322422ABAC(ADBE)(ADBE).

333338. 【答案】A

2

【解析】解:当x>0时,x>0,则>0 ∴“x>0”是“但

>0”成立的充分条件;

2

>0,x>0,时x>0不一定成立

∴“x>0”不是“故“x>0”是“故选A

>0”成立的必要条件;

>0”成立的充分不必要条件;

【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不

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充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.

9. 【答案】B

【解析】解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本, ∴三年级要抽取的学生是故选:B.

【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率,得到结果.

10.【答案】D

【解析】解:由于y=x+1为非奇非偶函数,故排除A;

2

由于y=x为偶函数,故排除B;

×200=40,

由于y=2为非奇非偶函数,故排除C;

x

由于y=x|x|是奇函数,满足条件, 故选:D.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断,属于基础题.

11.【答案】C

22

【解析】解:命题“若x>0,则x>0”的逆命题是“若x>0,则x>0”,是真命题; 2

否命题是“若x≤0,则x≤0”,是真命题; 2

逆否命题是“若x≤0,则x≤0”,是假命题;

综上,以上3个命题中真命题的个数是2. 故选:C

12.【答案】A

【解析】解:根据题意,得; ===又∵

+﹣=+(+++x+

) , +y

∴x=﹣,y=,

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故选:A.

【点评】本题考查了空间向量的应用问题,是基础题目.

二、填空题

13.【答案】 ﹣4 .

【解析】解:∵函数f(x)=

2

∴f(﹣2)=4﹣=

, )=

=﹣4.

f(f(﹣2))=f(

故答案为:﹣4.

14.【答案】 ±(7﹣i) .

【解析】解:设z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i)(a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i为纯虚数,∴ 又ω=

=.

=

,|ω|=

,∴

2

把a=3b代入化为b=25,解得b=±5,∴a=±15.

∴ω=±

故答案为±(7﹣i).

=±(7﹣i).

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出.

15.【答案】 .

【解析】解:∵复数故答案为:

=

=i﹣1的模为

=

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题.

16.【答案】 ①② .

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【解析】解:对于①由an+1=所以,

>1,

,且a1=m=<1,

,∴a5=2 故①正确;

对于②由a3=3,若a3=a2﹣1=3,则a2=4,若a1﹣1=4,则a1=5=m. 若

,则

若a1>1a1=,若0<a1≤1则a1=3,不合题意. 所以,a3=2时,m即a1的不同取值由3个. 故②正确; 若a1=m=故在a1=

>1,则a2=

,所a3=

>1,a4=

时,数列{an}是周期为3的周期数列,③错;

故答案为:①②

【点评】本题主要考查新定义题目,属于创新性题目,但又让学生能有较大的数列的知识应用空间,是较好的题目

17.【答案】 3 .

2

【解析】解:∵抛物线y=4x=2px, ∴p=2,

由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, ∴|MF|=4=x+=4, ∴x=3, 故答案为:3.

【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.

18.【答案】(0,3)

【解析】构造函数F(x)f(x)3x,则F'(x)f'(x)30,说明F(x)在R上是增函数,且

)3lo3gx1,即F(1)f(1)31.又不等式f(log3x)3log3x1可化为f(lo3xgF(lo)F(1),∴log3x1,解得0x3.∴不等式f(log3x)3log3x1的解集为(0,3). 3xg三、解答题

19.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ)由题意得

解得a=2,b=1,

所以椭圆方程为.

(Ⅱ)(i)由已知,直线MN的斜率存在,

设直线MN方程为y=kx﹣,M(x1,y1),N(x2,y2).

由22

得(1+4k)x﹣4kx﹣3=0,

∴x1+x2=又

,x1x2=,

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=所以S△PMN=令h(t)=则t=

,t∈[,则t≥

2,k=

,+∞),则h′(t)=1﹣

=)=

>0,所以h(t)在[,

,+∞),单调递增,

,即k=0时,h(t)的最小值,为h(

所以△PMN面积的最大值为

(ii)假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形.

(1)当P在y轴上时,P的坐标为(0,1),则M,N关于y轴对称,MN的中点Q在y轴上. 又O为△PMN的中心,所以从而|MN|=

,|PM|=

,可知Q(0,﹣),M(﹣

),N(

).

,|MN|≠|PM|,与△PMN为等边三角形矛盾.

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(2)当P在x轴上时,同理可知,|MN|≠|PM|,与△PMN为等边三角形矛盾. (3)当P不在坐标轴时,设P(x0,y0),MN的中点为Q,则kOP=又O为△PMN的中心,则

,可知

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2xQ=﹣x0,y1+y2=2yQ=﹣y0,

2222

又x1+4y1=4,x2+4y2=4,两式相减得kMN=

从而kMN=所以kOP•kMN=

. •(

)=

≠﹣1,

所以OP与MN不垂直,与等边△PMN矛盾. 综上所述,不存在△PMN是以O为中心的等边三角形.

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

20.【答案】

【解析】满分(14分).

解法一:(Ⅰ)当a=4时,f(x)=4x2+2x﹣lnx,x∈(0,+∞),

.…(1分)

由x∈(0,+∞),令f′(x)=0,得

当x变化时,f′(x),f(x)的变化如下表: x f′(x) ﹣ f(x) ↘ 故函数f(x)在无极大值.…(4分) (Ⅱ)

0 + 极小值 ↗ 单调递减,在

单调递增,…(3分)f(x)有极小值

令f′(x)=0,得2ax2+2x﹣1=0,设h(x)=2ax2+2x﹣1.

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则f′(x)在(0,1)有唯一的零点x0等价于h(x)在(0,1)有唯一的零点x0 当a=0时,方程的解为

,满足题意;…(5分)

,函数h(x)在(0,1)上单调递增,

当a>0时,由函数h(x)图象的对称轴

且h(0)=﹣1,h(1)=2a+1>0,所以满足题意;…(6分) 当a<0,△=0时,

,此时方程的解为x=1,不符合题意;

当a<0,△≠0时,由h(0)=﹣1, 只需h(1)=2a+1>0,得综上,

.…(8分)

.…(7分)

(说明:△=0未讨论扣1分)

(Ⅲ)设t=1﹣x,则t∈(0,1),p(t)=g(1﹣t)=at2+2t﹣3﹣lnt,…(9分)由

,故由(Ⅱ)可知,

方程2at2+2t﹣1=0在(0,1)内有唯一的解x0,

且当t∈(0,x0)时,p′(t)<0,p(t)单调递减;t∈(x0,1)时,p′(t)>0,p(t)单调递增.…(11分)

又p(1)=a﹣1<0,所以p(x0)<0.…(12分) 取t=e﹣3+2a∈(0,1),

则p(e﹣3+2a)=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a(e﹣6+4a﹣2)+2e﹣3+2a>0, 从而当t∈(0,x0)时,p(t)必存在唯一的零点t1,且0<t1<x0, 即0<1﹣x1<x0,得x1∈(0,1),且x0+x1>1,

从而函数g(x)在(0,1)内有唯一的零点x1,满足x0+x1>1.…(14分) 解法二:(Ⅰ)同解法一;…(4分) (Ⅱ)

令f′(x)=0,由2ax2+2x﹣1=0,得设

,则m∈(1,+∞),

.…(5分)

,…(6分)

的图象在(1,+∞)恰有一个交点问题.

问题转化为直线y=a与函数

又当m∈(1,+∞)时,h(m)单调递增,…(7分) 故直线y=a与函数h(m)的图象恰有一个交点,当且仅当

.…(8分)

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(Ⅲ)同解法一.

(说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用t→0时,p(t)→+∞进行证明,扣1分)

【点评】本题考查函数与导数等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力,考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想,考查运用数学知识分析和解决问题的能力.

21.【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】(Ⅰ)由已知 点

在椭圆上,

,时,

的垂直平分线过点

当且仅当当直线

的斜率

消去

时, 设得:

, ,

的中点为

时,

,

的斜率存在.

,解得

所求椭圆方程为(Ⅱ)设当直线

,的斜率

由直线的垂直关系有,化简得 ②

由①②得又

到直线

的距离为

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时,

由即综上:22.【答案】 【解析】解:(1)=

定义域是(0,7]… (2)∵当且仅当

,…

即x=6时取=…

,时,

,解得

∴y≥80×12+1800=2760…

答:当侧面长度x=6时,总造价最低为2760元.…

23.【答案】

2

【解析】解:(1)A={x|x+2x<0}={x|﹣2<x<0},

B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},

∴∁RA={x|x≤﹣2或x≥0}, ∴(∁RA)∩B={x|x≥0};…

(2)当a≥2a+1时,C=∅,此时a≤﹣1满足题意; 当a<2a+1时,C≠∅, 应满足

解得﹣1<a≤﹣; 综上,a的取值范围是

.…

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24.【答案】

【解析】(1)依题意知N(0,y),∵ME2221MN(x,0)(x,0),∴E(x,y) 3333则QM(x,y1),PE(x,y1) …………2分

13x21y21 ∵QMPE0,∴xx(y1)(y1)0,即3∴曲线C的方程为x23y21 3…………4分 第 18 页,共 19 页

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