一元二次方程的应用类型

一元二次方程的应用类型及例题解析

（1）一元二次方程解应用题步骤 即：

1．审题；

2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程；

5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解． （2）常见类型 1、传播问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人 可传染人数 共传染人数

第0轮 1（传染源） 1 第1轮 x x+1

第2轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1) 列方程 1+x+ x(x+1)=121 解方程，得

X1=10，X2=-12 X2=-12不符合题意， 所以原方程的解是x=10

答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。 类似问题还有树枝开叉等。 2、循环问题

又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题

a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

c.一个正八边形，它有多少条对角线？ 3、平均率问题

最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：

M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

（a）平均增长率问题

某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？ 解：设每年经营总收入的年增长率为a. 列方程， 600÷40%×(1+a)2=2160

解方程， a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)

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晨晨教育于老师讲义

∴每年经营总收入的年增长率为0.2 则 2001年预计经营总收入为：

600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800 答：2001年预计经营总收入为1800万元. （b）平均下降率问题

从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？

剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x升，则

20x第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（·x）升．根据20升纯酒精减去两

20次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．

20－x－

20x·x＝5． 204、商品销售问题

常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）

（a）给出关系式

1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

(b)一个“+”， 一个“—”

2.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 5、面积问题

如图1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?

解：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米2），一条横路所占的

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面积为32x(米)．

纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x－2x2)米2，根据题意可列出方程

32×20－（40x＋32x－2x2）＝570． 解：设道路宽为x米，根据题意，得 32×20－（40x＋32x－2x2）＝570． 整理，得x2－36x＋35＝0．

解这个方程，得x1＝1，x2＝35．

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x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．

答：道路宽为1米．

说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图2)，就更易发现等量关系列出方程．

如前所设，知矩形MNPQ的长MN＝(32－2x)米，宽NP＝(20－x)米，则矩形MNPQ的面积为：(32－2x)(20－x)．而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x)(20－x)＝570，思路清晰，简单明了． 6、银行问题

王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．

解：设第一次存款时的年利率为x，

根据题意，得［100（1＋x）－50］（1＋x）＝63． 整理，得50x2＋125x－13＝0．

113，x2＝－． 10513∵x2＝－不合题意，

51∴x＝＝10％．

1012解得x1＝

答：第一次存款时的年利率为10％． 说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．

7、数学问题

一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．

解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)，原来的两位数就是： 10(5－x)＋x．新的两位数个位上的数字为(5－x)，十位上的数字为x，新的两位数就是：10x＋(5－x)．

可列出方程：［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．

解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)． 根据题意，得 ［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．

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整理，得x－5x＋6＝0， 解得x1＝2，x2＝3．

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当x＝2时，5－x＝5－2＝3； 当x＝3时，5－x＝5－3＝2． 答：原来的两位数是32或23．

说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式． 8、动态几何

如图，在△ABC中，∠B=90o,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2 ？

解：设经过x秒，得BP=6-x，BQ=2x

∵ S△PBQ=BP×BQ÷2 ∴（6-x）×2x÷2=8 解得：x1=2，x2=4

答：经过2秒或4秒， △PBQ的面积等于8cm2 .

综合练习

1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？

2.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

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4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？

5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

6.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

7.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

8.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

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9.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。

10.如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

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