分数阶傅里叶变换的数值计算方法研究

总第２１５期　舰船电子工程　Ｖｏｌ＿３２　Ｎｏ．５　２０１２年第５期　Ｓｈｉｐ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　５５　分数阶傅里叶变换的数值计算方法研究　向崇文　王泽众　黄宇　刘锋　孙雪。　（１．海军航空工程学院电子信息工程系烟台２６４００１）（２．中国人民解放军９１９６０部队汕头５１５０７４）　摘要　由于分数阶傅里叶变换（ＦｒＦＴ）Ｎ以看做一种统一的时频变换，已经广泛应用于雷达、通信、声纳等信号处理领域。分数阶傅　里叶变换的数值计算是分数阶傅里叶变换走向实际应用的关键。文章首先给出了分数阶傅里叶变换的定义，分析了现有的几种主要的数值　计算方法；然后，重点研究了一种最近由Ａｄｈｅｒｍａｒ　Ｂｕｌｔｈｅｅｌ实现的二相数值算法；最后通过计算机仿真验证，该算法精度高、运算速度更快，　可以进一步贴近工程领域实时性需求。　关键词ＦｒＦＴ；信号处理；数值计算　中图分类号０２９　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｆｏｒ　Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ＸＩＡＮＧ　Ｃｈｏｎｇｗｅｎ　・　ＷＡＮＧ　Ｚｅｚｈｏｎｇ　ＨＵＡＮＧ　Ｙｕ　ＬＩＵ　Ｆｅｎｇ　ＳＵＮ　Ｘｕｅ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｖａｌ　Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｙａｎｔａｉ　２６４００１）　（２．Ｎｏ．９１９６０　Ｔｒｏｏｐｓ　ｏｆ　ＰＬＡ，Ｓｈａｎｔｏｕ　５１５０７４）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ａｓ　ｔｈｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦｒＦＴ）ｃａｎ　ｂｅ　ｓｅｅｎ　ａｓ　ａｎ　ｕｎｉｆｉｅｄ　ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｉｔ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ａ　ｐｏｗｅｒｆｕｌ　ｔｏｏｌ　ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｂｅ　ｗｉｄｅｌｙ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｓｕｃｈ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｆｉｅｌｄｓ　ａｓ：ｒａｄａｒ，ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，ｓｏｎａｒ，ａｎｄ　ＳＯ　ＯＦｔ，Ｔｈｅ　ｆａｓｔ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＦｒＦＴ　ｉｓ　ｔｈｅ　ａ　ｋｅｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＦｒＦＴ　ｉｓ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ａｎｄ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｔｙｐｉｃａｌ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｗｅｒｅ　ａｎａ—　ｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅｎ，Ａ　ｔｗ￣ｐｈａｓｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ　ｂｙ　Ａｄｈｅｒｍａｒ　Ｂｕｌｔｈｅｅｌ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ，ｉｔ　ｈａｓ　ａｄｖａｎｔａｇｅｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｆａｓｔ　ｓｐｅｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ—ｔｉｍｅ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｉｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｆｉｅｌｄ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ　ＦｒＦＴ，ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｄｉｇｉｔａｌ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　Ｃｌａｓｓ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｏ２９　ｆＡ　ｅｘｐ　（　。　一２ｔｕｃｓｃａ＋ｕｚ　ｃｏｔａ）］ａ≠加　１　引言　（“，￡）一　８（ｕ－－ｔ）　ａ一　对信号进行分数阶傅里叶变换（ＦｒＦＴ）可以解释为将　ｌ　（“＋　）　ａ一（２ｎ土１）ｎ　信号坐标轴在时频平面绕原点逆时针旋转＿１］。随着阶数ｎ　（２）　从０连续变化到１，表现出信号从时域到频域变化的全部特　式中　征，因此，可以看做是一种统一的时频变换。作为一维线性　Ａ　一　Ｔ＝　一　１　变换，可以有效地避免信号的交叉项干扰，具有较好的时频　￣／｝ＳｌＰ，￣ｌ　聚集性。因此，特别适合于线性调频信号（Ｃｈｉｒｐ）的检测与　（３）　参数估计［　、时频滤波ｌ３Ｊ、目标识别　等用途。　（“）的逆变换为　２分数阶傅里叶变换定义　３２（　）一　［　（“）］一１　（ｕ）Ｋ　ｏ（“，ｔ）ｄｕ（４）　√　分数傅里叶变换算子Ｐ通过实变量ａ将函数．２７变换　由上式可知，信号３２（ｔ）可以分解为一组系数为Ｘ　为Ｘ。一Ｐ（　），定义可以表述为整体积分变换：　（“）的正交Ｃｈｉｒｐ基Ｋ一。（“，ｔ）的线性组合。　（“）一｛２　Ｅｘ（ｔ）２）一Ｉ　Ｋ　（“，ｔ）ｘ（ｔ）ｄｔ　（１）　３分数阶傅里叶变换数值计算　３．１离散分数阶傅里叶变换定义　其中，ａ为ＦｒＦＴ的阶数，ｕ为分数阶域（ＦｒＦＤ），旋转角　一口　仿照离散傅里叶变换（ＤＦＴ）的定义，Ｘ—　专，则ＦｒＦＴ￣Ｋｏ（“，ｔ）Ｎ　Ｉｘ（Ｏ），…，ｚ（Ｎ一１）］　的离散分数阶傅里叶变换（ＤＦｒＦＴ）可以　＊收稿日期：２０１１年１１月２２日，修回日期：２０１１年１２月２６日　作者简介：向崇文，男，硕士研究生，研究方向：雷达侦察信号处理。王泽众，男，博士研究生，研究方向：复杂调制雷达信号截获与识　别。黄宇，男，博士研究生，研究方向：复杂调制雷达信号截获与识别。刘锋，男，博士，教授，博士生导师，研究方向：电子信息战理论　及应用。孙雪，女，工程师，研究方向：通信信号处理。　５６　向崇文等：分数阶傅里叶变换的数值计算方法研究　总第２１５期　理解为　经过ＤＦｒＦＴ算子Ｐ作用的结果［５］，即　＝Ｐｚ：　Ｎ　１　（ｋ）一Ｐ３２一＞：Ｐ（　，”）　（　），ｋ一０，…，Ｎ一１　＝。０　（５）　式中Ｐ（　，　）为ＤＦｒＦＴ核矩阵，Ｐ—ＥＡ　Ｅ　，Ｆ—ＥＡＥ　为　ＤＦＴ矩阵的特征值分解。　３．２主要的数值计算方法　按照Ｐｆ（志，，ｚ）核矩阵的求法差异，我们可以将近年来　主要的一些分数阶傅里叶变换的数值算法分为以下三　类　：　１）特征分解型　特征分解算法通过求ＤＦＴ的核矩阵Ｆ（ｋ，”）的特征值　和特征向量构造ＤＦＴ核矩阵的分数幂，以此作为Ｐ（尼，　）　来计算ＤＦｒＦＴ。Ｃａｎｄａｎ等在文献［７］中对ＤＦｒＦＴ进行了　详细描述。Ｓ．Ｃ　Ｐｅｉ等在文献Ｅ８］提出了一种基于正交投　影的特征分解型算法。此类方法的优点是保持了连续Ｆｒ—　ＦＴ的许多性质，但该法计算复杂度高，不能用来实时处　理。　２）线性组合型　线性组合方法是对特定阶数的一些ＤＦｒＦＴ的线性组　合来表示任意阶的ＤＦｒＦＴ。文献Ｅ９］￣Ｑ用Ｔａｙｌｏｒ级数展开　以及Ｃａｙｌａｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ定理，将其表示为阶数为０，１，２，３的　线性组合。虽然该方法计算量最小，但计算精度太低。文　献Ｅ１ｏ］提出了另外一种ＤＦｒＦＴ线性组合型算法，将上述特　殊阶数０，１，２，３变为从０阶开始间隔Ｎ／４取得Ｎ个阶数，　其中Ｎ为样本个数。利用ＦｒＦＴ的旋转相加性，可将一次　变换的结果输入到后一次变换，因此算法可以采用串行的　方法实现，可用超大规模集成电路（ＶＬＳＩ）实现。但缺点　是，必须知道至少１个特定阶数变换的结果，同时这些阶数　还与输入信号的样本个数Ｎ有关。　３）离散采样型　离散采样型算法实质上是，对连续ＦｒＦＴ的输入输出　信号进行采样获得ＤＦｒＦＴ核矩阵。由Ｏｚａｋｔａｓ等学者提出　的计算量与ＦＦＴ相当的快速近似分数阶傅里叶变换算法　（ＦＡＦｒＦＴ），其本质是实现信号的离散取样值与连续ＦｒＦＴ　的离散取样值之间的映射，计算复杂度仅为Ｏ（ＮｌｏｇＮ）［１１ｊ。　该算法引起了国内外学者的广泛关注，使ＦｒＦＴ从理论逐　步走向工程实践，从而在信号处理领域得到广泛应用。具　体步骤是：　ｔ。ｃｏｌａ　２ｔｕｃｓｃａ＋“　ｃｏｌａ—ｔ　（ｃｏｌａ－ｃｓｃｏｒ）＋（￡一“）　ＣＳＣａ　＋“０（ｃｏ　—ＣＳＣａ）　（６）　代入式（１），利用（ｃｏｔａ－－ｃｓｃａ）一一ｔａｎ（　２）化简得　到：　Ｘ“（“）一　ｅＸＩ］　（ｃｏｌａ—ｃｓｃａ）ｕ。］Ｉ　ｅｘｐ［ｊ＝ｃｓｃａ（Ｕ－－　）　］　Ｊ　∞　｛ｅｘｐＥｊｒｃｔ　（ｃｏｌａ—ＣＳＣａ）Ｉｘ（ｔ））　一Ａ。ｅｘｐ［－－加ｔａｎ（　／２）“。］ＩＪ　　ｅｘｐ［ｊｒｒｃｓｃａ（“一ｔ）。］　｛ｅｘｐ［　ｔａｎ（ｄ／２）］　（￡）｝　（７）　令　（ｊ’）一ｅｘｐ（ｊ￣ｒｘ　），这里ｒ可以取两个值　一一　ｔａｎ（口／２），ｆ—ＣＳＣａ，定义算子ｇ—　・ｚ，算子ｈ—　＊ｇ。　式（７）可以进一步简化为　（“）一ＡＴ　（“）Ｉ　（“一￡）［　（￡）　（ｆ）］　（８）　这类算法将ＦｒＦＴ分解为三个步骤来实现，即步骤一　短　信号先与Ｃｈｉｒｐ信号乘积，步　骤二与Ｃｈｉｒｐ信号卷积运算，　．　步骤三与Ｃｈｉｒｐ信号乘积。　图１　ＦｒＦＴ的１相实现原理图　将此类方法实现原理理解为　１相实现，如图１所示。　这类算法的机理决定了运算前，假设信号在时域和频　域上是紧支撑的，然后对时频域进行量纲归一化，时域和频　域都被限定在区间［－￣／２，ｚ￣／２］，宽度为△，采样点数为Ｎ　一△　，采样间隔１／Ａ一１／　Ｎ　。而且每个步骤必须考虑　采样间隔，以符合香农采样定理。考虑到信号与Ｃｈｉｒｐ信　号乘积、卷积运算的Ｗｉｇｎｅｒ分布区域，需要将支撑区域限　定在区间［一△，△］。为了恢复原来的采样样本值，我们以　采样间隔１／２Ａ获取样本值，从而得到２Ｎ个样本值。并得　到离散形式如下：　＾　～　（　）一　（　２△）至－　－－ｎ）　２△］丁＝（＂／ｚ△）　（　）　（９）　这就是对连续ＦｒＦＴ的近似值，直接对其计算得到的　结果精度低。于是，学者对这类算法进行了改进。目前主　要有两种实现途径：一种是由Ａ．Ｍ．Ｋｕｔａｙ实现，另一种是　由Ｊ．Ｏ’Ｎｅｉｌｌ实现。前者只允许采样点数Ｎ为偶数，且ａ　的取值限定在［一２，２］｝后者要求采样点数Ｎ为奇数。文　献［５］对两者进行了比较，结果显示后者在实际运算中能得　到更精确的结果，并对后者进行了改进，消除了限制条件，　提出了“最好”的ＦＡＦｒＦＴ算法，可实现任意的阶数ａ和采　样点数Ｎ的计算。　文献［５］将Ｏｚａｋｔａｓ算法　与Ｐｅｉ算法Ｌ８ｊ进行了比较，　前者是一种实现近似计算连续ＦｒＦＴ更直接和快速的方　法，而后者仅当采样点数Ｎ比较大时，才可以用于近似计　算连续ＦｒＦＴ。　３．３二相数值算法　Ｏｚａｋｔａｓ等学者提出的ＦＡＦｒＦＴ算法，得到了广泛应用　与推广。但是，该算法在计算的时候需要上采样，在计算结　束时再下采样，使得计算前后的样本数Ｎ一致。从而导致　实际计算过程中，有些数据没有必要计算，延长了算法运算　时间。为避免此情况，文献［１２］提出了一种高效的多相算　法，文献Ｅｌ３］提出了一种简化的２相算法。　２相算法在计算过程中。将信号分段成偶数样本和奇　数样本部分，分别对这两个部分进行计算，避免没有必要的　计算，缩短了算法运算时间。假设信号ｚ（ｔ）有Ｎ个等ｌ＇Ｈ】　隔的样本点数　ｋ／ａＳ，　一一　，…，　，　的取值可　以是整数或者半整数。在计算时，Ｎ是偶数或者奇数导致　离散样本　（　ｋ）中ｋ一一下Ｎ－１，…，　的索引值取得整　数值或者半整数值。不妨设定将　（÷）值存放在偶数索　引项部分，称之为偶数样本。在这些偶数样本之间定义奇　数样本，而这些值是需要通过ｓｉｎｃ插值得到的，共有Ｎ一１　个样本。　２０１２年第５期　舰船电子工程　５７　偶数样本：　。（砉）一　（丢）　Ｎ一１—　’　Ｎ～１…，Ｔ　　（１０）　奇数样本：　ｚ　（　）＝ｚ（　）一　ｚＮ－－１（丢）ｓｉ叫（２／＋１－２　，　一∑　。（　）ｓｉｎｃ［２（１一　）＋１３，　一一Ｔ’…，，…，　ＴＮ－－３　　（１１）ｌｌ　　上式含有卷积运算，可以等价于两个ＦＦＴ运算乘积的　逆ＦＦＴ运算（ＩＦＦＴ）。　依照此思路，按照ＦｒＦＴ的１相实现的　个步骤，可以　得到ＦｒＦ２、的２相实现口　，如图２所示。其中Ａ　一　／　（２、，　丁）。　图２　ＦｒＦＴ的２相实现原理图　４数值算法性能分析　通过计算机仿真对文献Ｅｓ］中的算法１与文献［１３］算法　２进行比较。仿真平台：ｃｐｕ　Ｐｅｎｔｉｕｍ（Ｒ）Ｄｕａｌ－Ｃｏｒｅ　２ＧＨｚ，　ｃａｃｈｅ１ＭＢ，系统ｗｉｎｄｏｗｓ　ｘｐ　ｓｐ３，ＭＡＴＬＡＢ　Ｒ２００９ａ。设定信　号为Ｃｈｉｒｐ信号，解析式ｅｘｐ（ｊ￣ｋＦ），离散样本个数～一２　，　一６，…１５，调频率　一１Ｈｚ／ｓ，采样频率　一１０００Ｈｚ／ｓ。Ⅲ　阶数ａ等间隔从区间［ｏ，２］取１００个点。误差系数如图３所　示，算法运算时间为Ｍａｔｌａｂ的ｃｐｕｔｉｍｅ如图４所示。　１　量　兰０　三一　．１　图３　ｎ阶误差系数图　图４两种算法运算时间图　定义误差系数　一　“　ｍａｘ　ｍａｘ　ｌａ　＜　＜　ｂｓ（　ＦｒＦＴ）］０｝｝”　１　，…　（１２）　式中ａｂｓ（・）为取模计算。经计算，Ｙｍａ　一０．００５９。　综合仿真结果可以看出，算法２与算法１的精度相当，　而计算速度有较大的提高。　５　结语　ＦｒＦｖｒ是对传统ＦＴ的推广，已经广泛应用于雷达、通　信、声纳、水印等许多实际工程领域。由于ＤＦｒＶＴ的计算　比ＤＦＴ的计算要复杂的多，尽管国内外学者提出了很多种　ＦｒＦＴ的快速数值计算方法，但兼顾ＦｒＦＴ的各种性质和实　际计算复杂度，目前还没有一种ＦｒＦＴ的快速计算方法满　足以上所有要求。该文首先给出了分数阶傅里叶变换的整　体积分定义、离散分数阶傅里叶变换定义，对现有的主要几　种数值算法进行了研究和比较，最后基于Ｍａｔｌａｂ分析了一　种二相ＦｒＦＴ快速算法，经比较其计算速度更快、有更好的　实用价值，可以进一步贴近工程领域实时性需求。　参考文献　Ｌ１Ｊ　Ａｌｍｅｉｄａ　Ｉ　Ｂ．Ｔｈｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ａｎｄ　ｔｉｍｅ—ｆｒｅ　ｑｕｅｎｃｙ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ［Ｊｌ　ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　ＳＰ，１９９４，４２（１１）：　３０８４—３０９ｌ＿　［２］齐林，陶然，周思永，等．基于分数阶ｆｏｕｒｉｅｒ变换的多分量ＬＦＭ　信号的检测和参数估计ＩＪ］．中国科学，２００３，３３（８）：７４９—７５９．　［３］邓兵，陶然，齐林，等．分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换与时频滤波ＥＪ］．系统　工程与电子技术，２００４，２６（１０）：１３５７—１３５９．　［４］谢德光，张贤达．基于分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换的雷达目标识别［Ｊ］．　清华大学学报，２０１０，５０（４）：４８５—４８８．　【５　ｌ　Ｂｕｌｔｈｅｅｌ　Ａ　ａｎｄ　Ｓｕｌｂａｒａｎ　Ｈ　Ｅ　Ｍ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｓｆｏｒｍ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ａｎａｌ，２００４，１６　（３）：１８２—２０２．　［６］陶然，邓兵，王越．分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在信号处理领域的研究　进展［Ｊ］．中国科学，２００６，３６（２）：１１３　１１６．　［７］Ｃａｎｄａｎ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｄ］．ＭＳ　Ｔｈｅｓｉｓ，Ｂｉｌｋｅｎｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｋａｒａ，１９９８．　［８］Ｐｅｉ　Ｓ　Ｃ，Ｙｅｈ　Ｍ　Ｈ，Ｔｓｅｎｇ　Ｃ　Ｃ　Ｄｉｇｉｔａｌ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓ—　ｆｏｒｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　ＳＰ，　１９９９，４７（５）：１３３５～１３４８．　［９ｊ　Ｓａｎｔｈａｎａｍ　Ｂ，ＭｃＣｌｅｌｌａｎ　Ｊ　Ｈ．Ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　ＳＰ，１９９６，４４（４）：９９４—９９８．　［１Ｏ］Ｙｅｈ　Ｍ　Ｈ，Ｐｅｉ　Ｓ　Ｃ．Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ［，Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　ＳＰ，２００３，５１（３）：　８８９—８９１．　［１１］Ｏｚａｋｔａｓ　Ｈ　Ｍ，Ａｎｋａｎ　Ｏｒｈａｎ．Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｆｒａｃ　ｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［，Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　ＳＰ，１９９６，４４（９）：　２１４１—２１５Ｏ．　［１２］ＴａｏＲ，Ｌｉａｎｇ　Ｇ，Ｚｈａｏ　Ｘ　Ｈ．Ａｎ　Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ＦＰＧＡ－ｂａｓｅｄ　Ｉｍｐｌｅ　ｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｓｉｇｎ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｓｙｓｔ，２０１０，６０（１）：４７—５８．　［１３］Ｂｕｌｔｈｅｅｌ　Ａｄｈｅｒｍａｒ．Ａ　ｔｗｏ—ｐｈａｓｅ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｒａｃ　ｔｉｏｎａｌ　Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｒ］．Ｒｅｐｏｒｔ　Ｔｗ　５８８，Ｄｅｐｔ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｋ．Ｕ．Ｌｅｕｖｅｎ，Ｍａｒｃｈ，２０１１．　［１４］张明，柳超，张志刚．鞭天线线性阵列方向图的数值计算［Ｊ］．　计算机与数字工程，２００９（７）．