相对密度对多孔材料等效弹性性能的影响

第２期（总第１９５期）　２０１６年４月　机械工程与自动化　ＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　＆　ＡＵＴＯＭＡＴＩＯＮ　Ｎｏ．２　Ａｐｒ．　文章编号：１６７２—６４１３（２０１６）０２—０１３８—０２　相对密度对多孔材料等效弹性性能的影响＊　李盛静，晋艳娟，杨　昆，张　柱，郑亚东　（太原科技大学应用科学学院，山西　太原０３００２４）　摘要：借助二维均匀化方法来讨论胞孔形状及大小对多孔材料弹性性能的影响。基于均匀化方法预测多孔材　料的等效弹性常数，并与实验结果进行比较，验证了均匀化方法预测多孔结构有效弹性模量的正确性。研究　胞孔形状及相对密度对多孔材料弹性常数的影响规律，结果表明：相对密度的变化对多孔材料的等效弹性模　量具有显著影响，而胞孔形状的改变对其影响则小。　关键词：均匀化方法；相对密度；多孔材料；弹性模量　中图分类号：ＴＰ３９１．７：ＴＢ３８３　文献标识码：Ａ　‘　０　引言　随着制备工艺的成熟，超轻金属多孑Ｌ材料以其卓　越的比强度、比刚度成为新一代轻质的结构功能材料，　广泛应用于建筑结构、交通运输以及航天航空等领　域¨１］。二维的金属圆孔或蜂窝结构材料就是一种典型　的超轻材料。在实际分析中，周期性排布的多孔结构　材料常被处理成连续的均匀分布的材料，并用一系列　宏观等效弹性常数和本构方程来描述其等效力学性　质＿＿２］。因此，分析多孔结构的等效弹性常数具有非常　重要的现实意义。　均匀化理论（Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ）于２Ｏ世纪　７Ｏ年代由法国科学家提出￣３－４２，一直以来，该方法被　认为是研究复合材料、混凝土材料当量性能的常用手　段之一，但该理论也可以应用于计算多孔材料的等效　弹性性能　］。因此，本文基于均匀化方法对多孔材料　的等效弹性模量进行预测，得到多孔材料的等效弹性　常数，并与文献Ｅ６］中的实验结果进行比较，验证均匀　化方法的正确性；然后，基于该方法，研究胞孔形状及　相对密度对多孔材料弹性常数的影响规律。　１均匀化方法　均匀化方法是一种用于分析周期性结构材料性能　并且经过严密的数学推导的方法，它由材料的结构“胞　元”出发，将胞元均匀化方法引人到宏观和细观尺度　中，采用摄动技术建立宏观与细观之间的联系，由一个　细观单胞进而得到整体材料的宏观性能『７］。周期性结　构在周期性边界条件下等效弹性模量的计算表达式为：　１　ｒ　，　为单元的等效位移；　为细观尺度；ｄＹ为单元体积。　通过对单胞施加周期性边界条件进行有限元计　算，得到等效位移　，再将其代人式（１）可得到周期　性单胞的均匀化系数，进而可得到整个宏观结构的等　效弹性模量。　２多孔材料的弹性性能预测　将三维孔洞材料简化为截面上具有规则孔洞的二　维结构，取具有不同孔洞形状的正六边形模型作为有　限元单胞模型。选取正六边形模型单胞中的尺寸比　ａ：ｂ：ｒ为√３：１：０．９３￣／（１一、／ｒ　）／７ｃ（其中，ａ为　单胞　长度，ｂ为单胞高度，ｒ为胞孔半径，Ｖ　为胞壁的体积　含量，即相对密度）。圆形截面胞孔材料的单胞结构如　图１所示。利用Ａｂａｑｕｓ有限元软件，建立相对密度　为１７　的圆形截面胞孔有限元分析模型。首先建立　单胞模型的１／４并对其划分网格，然后再将网格部件　进行对称复制操作，从而保证所有节点位置的完全对　应，最终得到单胞的有限元分析模型，如图２所示。本　文假定胞壁材料为纯铝，相应的弹性模量Ｅ一７０　ＧＰａ，　泊松比　一０．３。　ＣＬ　＝：＝　　Ｊ　Ｉｌ　Ｊ　ｙ　Ｉ（Ｃ　一Ｃ洳ｆ·　ｄＹ　）ｄＹ．　（１）　对单胞进行有限元求解时，需要满足周期性边界　条件。采用建立点对点的约束方程、施加顶点零位移　自由度的方式来实现周期性边界条件在Ａｂａｑｕｓ软件　中的加载，如图３所示。若用“、　和７２Ａ分别表示等效　位移　在Ｘ、ｙ、Ｚ三个方向的位移分量，那么周期性　边界条件为：　ｆｉＡｂ＂＝“　＋Ｕｊ　其中：ｃｏ％　为材料的等效弹性矩阵；ｙ为单胞体积；Ｃｕ　为单元的宏观弹性矩阵；Ｇ俐为单元的细观弹性矩阵；　｛　一　‘＋　ｌ训　一叫　＋　—ｚ，Ｙ，ｚ．　（２）　山西省高等学校大学生创新创业训练项目（２０１４２６１）；太原科技大学大学生创新创业训练项目　收稿日期：２０１５—０５—０４；修订日期：２０１５—１２—１８　作者简介：李盛静（１９９２一），男，广西贵港人，在读本科生，专业为工程力学。　２０１６年第２期　李盛静，等：相对密度对多孔材料等效弹性性能的影响　·１３９·　２．３计算结果比较　２．４相对密度对多孔材料性能的影响　将有限元计算的结果代入式（１），得到相对密度为　选取圆形截面胞孑Ｌ和正六边形截面胞孑Ｌ来考察等　１７　的多孔铝材料的弹性张量Ｃ　，进而得到其弹性模　效参数随结构形状的变化。取相对密度分别为２Ｏ　、　量为１．２５　ＧＰａ。文献［６］的计算结果为１．２　ＧＰａ，与　３Ｏ　、４０％、５０　、６Ｏ　、７０％、８Ｏ　、９Ｏ　，分析等效参　本文的结果较为接近，说明均匀化方法可用于预测多　数随相对密度的变化规律。计算结果如图４、图５　孔材料的等效弹性模量。　所示。　图１　胞孔材料的单胞结构　图２　单胞的有限元分析模型　图３周期性边界条件　６　低于正六边形截面孑Ｌ洞材料。　５　３　结论　庙　Ｉ孔　利用均匀化方法的有限元格式对多孔材料的等效　Ｊ　、　，　弹性性能进行预测，得到了多孔材料的等效弹性常数，　ｓ　／／　其中弹性模量的预测结果与实验结果基本吻合，说明　蓑　／　＿　正：　＝＼　逆　．形．　ｆＬ　／　均匀化方法预测多孔材料等效弹性常数的正确性。分　１　，　析不同相对密度和胞孔形状的弹性常数的研究结果表　明：相对密度的变化对多孔材料的等效弹性模量具有　０　０．２　０．４　０．６　０．８　１　显著影响，而胞孔形状对等效弹性模量的影响很小。　参考文献：　［１］王志华，曹晓卿，马宏伟，等．基于均匀化理论的多孔材料　细观力学特性数值研究［Ｊ］．兵器材料科学与工程，２００６，　２９（５）：４－８．　［２］庄守兵，吴长春，冯淼林，等．基于均匀化方法的多孔材料　细观力学特性数值研究［Ｊ］．材料科学与工程，２００１，１９　（４）：９－１３．　［３］Ｐａｌｅｙ　Ｍ，Ａｂｏｕｄｉ　Ｊ．Ｍｉｃｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｏｓ—　ｉｔｅｓ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｃｅｌｌｓ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　ｏｆ　Ｍａｔｅ—　ｒｉａｌｓ，１９９２，１４（２）：１２７—１３９．　［４］Ｇｈｏｓｈ　，Ｌｅｅ　Ｋ，Ｍｏｏｒｔｈｙ　Ｓ．Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｓｃａｌｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　０　０．２　０．４　０．６　０．８　１　ｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｕｓｉｎｇ　ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　相对密度　ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ｖｏｒｏｎｏｉ　ｃｅｌｌ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒ—　图５　等效剪切模量随相对密度的变化　ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｌｉｄｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ｌ９９５，３２（１）：２７一　由图４可见，弹性模量随着相对密度的增大而增　６２．　大，其变化趋势与孔的形状无关；在同一相对密度下，　［５］龚曙光，陈艳萍，谢桂兰．均匀化理论在多孔板结构优化　圆形截面孔洞材料的等效弹性模量略高于正六边形截　中的应用研究［Ｊ］．机械科学与技术，２００４，２３（８）：９９５—　面孔洞材料。由图５可见，剪切模量是随相对密度增　９９８．　大而增大，其变化趋势与孔的形状无关；当相对密度大　［６］　陈鹏．泡沫铝夹芯结构力学性能研究［Ｄ］．哈尔滨：哈尔滨　于等于３０　时，圆形截面孔洞材料的等效剪切弹性模　工业大学，２０１３：３０—３２．　量略高于正六边形截面孔洞材料，而相对密度小于等　［７］　晋艳娟，张柱，崔小朝，等．均匀化方法对单向碳／铝复合　于２Ｏ　时，圆形截面孔洞材料的等效剪切弹性模量略　材料弹性性能预测［Ｊ］．太原科技大学学报，２０１３，３４（６）：　４５６—４６０．　Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｒｅｌａｔｉｖｅ　Ｄｅｎｓｉｔｙ　ｏｎ　Ｅｑ　ｕｉｖａｌｅｎｔ　Ｅｌａｓｔｉｃ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｐｏｒｏｕｓ　Ｍａｔｅｒｉａｌ　ＬＩ　Ｓｈｅｎｇ－ｊｉｎｇ，ＪＩＮ　Ｙａｎ￣ｕａｎ，ＹＡＮＧ　Ｋｕｎ，ＺＨＡＮＧ　Ｚｈｕ，ＺＨＥＮＧ　Ｙａ－ｄｏｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｅｌｌ　ｓｈａｐｅ　ａｎｄ　ｓｉｚｅ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｐｏｒｏｕｓ　ｍａｔｅｒｉａ１．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ　ｏｆ　ｐｏｒｏｕｓ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ａｒｅ　ｐｒｅ—　ｄｉｃｔｅｄ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｂｙ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ，ｖｅｒｉｆｙ　ｔｈａｔ　ｉｔ　ｉｓ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｔｏ　ｐｒｅｄｉｃｔ　ｔｈｅ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｍｏｄｕｌｕｓ　ｏｆ　ｐｏｒｏｕｓ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｗｉｔｈ　ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｌａｗ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｅｌｌ　ｓｈａｐｅ　ａｎｄ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｏｎ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｃｏｎｓｔａｎｔｓ　ｏｆ　Ｄｏｒ—　ＯＵＳ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｈａｓ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ　ｅｆｆｅｃｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｐｏｒｏｕｓ　ｍａｔｅｒｉａｌ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎＣｅ　ｏｆ　ｃｅｌｌ　ｓｈａｐｅ　ｃｈａｎｇｅ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｓｍａｌ１‘　．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｄｅｎｓｉｔｙ；ｐｏｒｏｕｓ　ｍａｔｅｒｉａｌ；ｅｌａｓｔｉｃ　ｍｏｄｕｌｕｓ