随机信号分析题目及其规范标准答案

1. （10分）随机变量X1,X2彼此独立，且特征函数分别为1(v),2(v)，求下列随机变量的特征函数：

（1） XX12X2 （2）X5X13X26

e(v)EeEX解：（1）jvXjvX12X2EejvX1ejv2X2 jvX1jv2X2X1和X2独立EeEe1(v)2(2v)

(v)EeX（2）jv5X13X26Eejv5X1ejv3X2ejv6 jv5X1jv3X2jv6X1和X2独立EeEeEe e1(5v)2(3v)

jv6

2. （10分）取值1,1，概率[0.4,0.6]的独立半随机二进制传输信号X(t)，时隙长度为T，问： （1） 信号的均值函数EXt； （2） 信号的自相关函数RXt,t； （3） 信号的一维概率密度函数fXx;t。 解：（1）EXt10.410.60.2 (2) 当t,t在同一个时隙时：

RX(t,t)EX(t)X(t)E[X2(t)]120.6(1)20.41

当t,t不在同一个时隙时：

RX(t,t)EX(t)X(t)EX(t)EX(t)0.20.20.04

（3）fXx;t0.6x10.4x1

3. （10分）随机信号X(t)sin(0t)，Ytcos0t，其中为常数，为在[-,]上均匀分布的随机变量。

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.\\

（1） 试判断Xt和Yt在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；

（2） 试判断Xt和Yt是否联合广义平稳。 解：

（1） 由于X(t)和Y(t)包含同一随机变量，因此非独立。

根据题意有

1f()2。

E[X(t)]Esin(0t)E[Y(t)]Ecos(0t)1sin(w0t)d0， 21cos(w0t)d0 2CXY(t1,t2)RXY(t1,t2)E[X(t1)Y(t2)]E[sin(w0t1)cos(w0t2)]1sin(w0t1)cos(w0t2)d211sin[w0(t1t2)2]sin[w0(t1t2)]dsin[w0(t1t2)]42

由于RXY(t,t)CXY(t,t)0，X(t)和Y(t)在同一时刻正交、线性

无关。

除w0t1t2k外的其他不同时刻RXY(t1,t2)CXY(t1,t2)0，

所以X(t)和Y(t2)非正交且线性相关。

（2） 由于E[X(t)]E[Y(t)]0，X(t)和Y(t)均值平稳。

1RX(t1,t2)Esin(w0t1)sin(w0t2)1sin(w0t1)sin(w0t2)d21{cos[w0(t1t2)2]cos[w0(t1t2)]d4

11cos[w0(t1t2)]cos(w0)22同理可得RY(t1,t2)RX(t1,t2)，因此X(t)和Y(t)均广义平稳。

11由于RXY(t1,t2)CXY(t1,t2)2sin[w0(t1t2)]2sin(w0)，因此X(t)和

.\\

Y(t)联合广义平稳。

4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c均为常数）？如果不能，请写出理由。

cos(c) ||4c R()（1） 0 其它cos(c) ||2c R()（2） 0 其它10cos() ||cc R()（3） 0 其它

（4）R()=cos(c) || 解：（1）不能，因为零点连续，而（2）能。

（3）不能，因为R(0)R(c)，而R()又不是2/c的周期函数。

（4）能。 5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的

N0双边功率谱密度21 W/Hz，求系统输出噪声的功率谱密度函数

/4点不连续。

2和自相关函数，以及输出噪声总功率。

R1解：系统的传递函数为HjRjLj1，

则系统输出功率谱密度为

.\\

SYSXHj211221212。

1输出噪声的自相关函数为RY2e

1输出噪声总功率为PNRY(0)2(W)

6. （10分）设随机信号Z(t)X(t)cos0tY(t)sin0t，其中0为常数，X(t)和Y(t)均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：

（1） X(t)和Y(t)是否联合广义平稳？

（2） 假如RX()=RY()，Z(t)是否为广义平稳的随机信号？ 证明：

（1） 由于X(t)和Y(t)相互正交，所以RXY(t,t)RYX(t,t)0，与t无关 ，又因为X(t)和Y(t)均为零均值的平稳随机过程，所以X(t)和Y(t)是联合广义平稳随机信号。

（2） 假如RX()=RY()，

E[Z(t)]E[X(t)cos0tY(t)sin0t]0常数

RZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]

EX(t)cos0(t)Y(t)sin0(t)X(t)cos0tY(t)sin0t

E[X(t)X(t)]cos0(t)cos0tE[X(t)Y(t)]cos0(t)sin0t

E[Y(t)X(t)]sin0(t)cos0tE[Y(t)Y(t)]sin0(t)sin0t

由于X(t)和Y(t)相互正交，所以

E[X(t)Y(t)]E[Y(t)X(t)]0

RZ(t,t)E[X(t)X(t)]cos0(t)cos0tE[Y(t)Y(t)]sin0(t)sin0t

RX()cos0(t)cos0tRY()sin0(t)sin0t

t无关

所以Z(t)是广义平稳的随机信号。

RX()cos0RY()cos0，与

.\\

7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。

2294S()=S()=42（1） （2）691029

2（3） S()01010 （4）S()=2

解：

（1） 不可以。不是偶函数。 （2） 可以。

4111，所以 S()=4222109219113111R()=ee，所以PR(0)=

41241231（3） 可以。P21S()d210102d20

1（4） 可以。P21S()d22()d1

8. （10分）某语音随机信号X(t)满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声N(t)。讨论：

（1） 收到的信号Y(t)X(t)N(t)的均值各态历经性； （2） Y(t)满足广义各态历经性的条件。 解：

由X(t)满足广义各态历经性，所以X(t)广义平稳且满足：

，与t无关E[X(t)]A[X(t)]mx E[X(t)X(t)]A[X(t)X(t)]，与t无关同理，N(t)广义平稳且满足：

.\\

1TE[N(t)]A[N(t)]limN(t)dt0TT2TE[N(t)N(t)]A[N(t)N(t)]No() 2

由于X(t)与N(t)是独立的，所以：

EY(t)EX(t)N(t)mX

RY(t,t)EX(t)N(t)X(t)N(t)RX()RN()

所以Y(t)是广义平稳的。且有：

AY(t)AX(t)N(t)AX(t)AN(t)EX(t)EN(t)mX

所以，

AY(t)Y(t)AX(t)N(t)X(t)N(t)AX(t)X(t)AN(t)N(t)AX(t)N(t)AN(t)X(t)

RX()RN()AX(t)N(t)AX(t)N(t)

由于EY(t)AY(t)mX，所以Y(t)是均值各态历经的。 假如AX(t)N(t)AX(t)N(t)0，则Y(t)是广义各态历经的。

9. （10分）已知平稳随机信号X(t)的功率谱密度

1X(t)通过频率响应为H()j1

4SX()2 4。

的系统后得到Y(t)。求：

（1） Y(t)的均值、平均功率；

（2） 系统的等效噪声带宽；

（3） 信号Y(t)的矩形等效带宽。

42 R()F[]e解: (1) X24mXRX()0，

1

mYH(0)mX0

411422SY()SX()H()222413431212RY()2ee 32

.\\

1P YRY(0)32

12rh()eu

21（2）H()12

1R01YBN22N0H04 2H(j0)rh(0)（3）信号Y(t)的矩形等效带宽

RY(0)1Beq 2SY(0)6

设N(t)X(t)cos(2f0t)Y(t)sin(2f0t)所表示10. （10分）

的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度SN(f)如下图示，若

f0为100Hz，试求：

（1） 随机信号N(t)的一维概率密度函数； （2）

RX()和RXY()；

（3） N(t)的两个正交分量的联合概率密度函数。 解：N(t)X(t)cos0tY(t)sin0t Xt,Yt也是高斯的 依题 ENtEXtEYt0

222XYRN0SNfdf22(10397)24(w) N(1)

n2n21fNn;texpexp 22422443481（2）f0=100Hz，根据X(t)和Y(t)的性质知

SX()LP[SN(0)SN(0)]

.\\

且 SN(0)SN(0)

则可得 RXY()0，SX(f)如图

求SX(f)的傅立叶反变换可得

1RX()24e33SX()ejdSX(f)ej2fdfj2fsin6df246

(3)

x21fXx;texp

22448y21fYy;texp

22448SN关于0对称，所以

独立.

Xt,Yt在任意时刻正交,不相关,

x2y21fXYx,y;t1,t2fXx;t1fYy;t2exp

4848