2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设
，则
，则
B.
D.
A. B. C. D. 2. 已知集合A. C.
3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4. 设为等差数列A.
B.
的前项和，若 D.
为奇函数，则曲线
的中点，则
在点
处的切线方程为
，
，则
C.
5. 设函数A. 6. 在△A. C.
B. 中， B. D.
为 C.
，若
D.
边上的中线，为
7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A. B.
C. D. 2
8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
=
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2 B. p1=p3
C. p2=p3 D. p1=p2+p3 11. 已知双曲线C：为M、N.若
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别
OMN为直角三角形，则|MN|=
D. 4
A. B. 3 C.
12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若，满足约束条件
，则
的最大值为_____________．
14. 记为数列的前项和，若，则_____________．
15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 16. 已知函数
，则
的最小值是_____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17. 在平面四边形
（1）求（2）若18. 如图，四边形位置，且
.
平面
；
中，
，
，
，
.
； ，求
.
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点到达点的
为正方形，
（1）证明：平面（2）求
与平面
所成角的正弦值.
19. 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于
的方程；
.
两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线（2）设为坐标原点，证明：
20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,求
，且各件产品是否为不合格品相互独立． 的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21. 已知函数
（1）讨论（2）若
．
的单调性； 存在两个极值点
，证明：
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系
中，曲线的方程为
．
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线的极坐标方程为
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程． 23. [选修4–5：不等式选讲]
已知（1）当（2）若
.
时，求不等式时不等式
的解集；
成立，求的取值范围.
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设
，则
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到正确结果. 详解：因为所以
，故选C.
，
，根据复数模的公式，得到，从而选出
点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目. 2. 已知集合A. C. 【答案】B
【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式所以
得，
，
的解集，从而求得集合A，之后根据集合
B.
D. ，则
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A
【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的入的一半，所以D正确； 故选A.
，所以超过了经济收
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 4. 设为等差数列A.
B.
的前项和，若 D.
，
，则
C.
【答案】B
详解：设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得整理解得
，所以
，故选B.
，
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与结果. 5. 设函数A.
B.
C.
，若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
的关系，从而求得
D.
【答案】D
【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而求得切线方程. 详解：因为函数所以所以所以曲线化简可得
，， 在点，故选D.
在某个点
处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确
处的切线方程为
，
是奇函数，所以
，
，解得
， ，进而得到
的解析式，再对
求导得出切线的斜率
点睛：该题考查的是有关曲线
定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得
，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
6. 在△A. C. 【答案】A
中， B.
为边上的中线，为
的中点，则
D.
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得的加法运算法则-------三角形法则，得到相反向量，求得
，从而求得结果.
，之后将其合并，得到
，之后应用向量，下一步应用
详解：根据向量的运算法则，可得
所以
，故选A.
，
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为
A. B.
C. D. 2 【答案】B
【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为
，故选B.
点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.
8. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点公式，求得
，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
，
=
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为
与抛物线方程联立解得所以从而可以求得
，又
， ，
，消元整理得：，
，故选D.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出于抛物线的方程求得
，之后借助
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求
得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
9. 已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C
【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程两个解，即直线
与曲线
有两个解，将其转化为
有
有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数，并将其上下移动，从图中可以发现，当
时，满足
的图像（将与曲线
去掉），再画出直线
有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数再画出直线
的图像，
在y轴右侧的去掉，
，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程也就是函数此时满足
有两个解， 有两个零点， ，即
，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A
详解：设从而可以求得黑色部分的面积为其余部分的面积为
的面积为
，则有
，
，
，所以有
，
，
根据面积型几何概型的概率公式，可以得到，故选A.
点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.
11. 已知双曲线C：分别为M、N.若A. B. 3 C. 【答案】B
【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到根据直角三角形的条件，可以确定直线得的结果是相等的，从而设其倾斜角为求得
的倾斜角为
或
，
，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点
OMN为直角三角形，则|MN|= D. 4
，根据相关图形的对称性，得知两种情况求
，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，
的值.
，
，利用两点间距离同时求得
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为从而得到
，所以直线
，且右焦点为
或
，
的倾斜角为
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为可以得出直线
的方程为
和，
， ，
分别与两条渐近线求得
联立，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线
的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，
之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体平面所以平面同理平面
与线
中，
所成的角是相等的，
与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，
与
中间的，
要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面且过棱的中点的正六边形，且边长为， 所以其面积为
，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面
积的求法，应用相关的公式求得结果.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 若，满足约束条件【答案】6
【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式之后在图中画出直线
，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线
，
过B点时
，则
的最大值为_____________．
取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
由画出直线
可得，
，将其上下移动，
结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值， 由此时
，解得
，
，故答案为6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 14. 记为数列
的前项和，若
，则
_____________．
【答案】
，类比着写出，结合
的关系，求得
，两式相减，整理得到
，
【解析】分析：首先根据题中所给的从而确定出数列求得的值. 详解：根据两式相减得当
时，
，可得
，即，解得
， ，
为等比数列，再令
，之后应用等比数列的求和公式
，
所以数列所以
是以-1为首项，以2为公布的等比数列，
，故答案是
.
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令
，求得数列
的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16
【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有从6名学生中任意选3人有
种选法，
种选法，
种，故答案是16.
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有
点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 16. 已知函数【答案】
，从而确定出函数的单调区间，减
，则
的最小值是_____________．
【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得
区间为，增区间为
代入求得函数的最小值.
，确定出函数的最小值点，从而求得
详解：所以当
时函数单调减，当
时函数单调增，
，
，
时，函数
，
，故答案是
.
取得最小值，
，
从而得到函数的减区间为函数的增区间为所以当此时所以
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17. 在平面四边形
（1）求（2）若【答案】 (1) (2)
.
，根据题设条件，求得
；
，之后在
中，用余弦定理得到
，结合角的
中，
，
，
，
.
； ，求.
.
【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到范围，利用同角三角函数关系式，求得(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得所满足的关系，从而求得结果.
详解：（1）在由题设知，由题设知，
中，由正弦定理得
，所以，所以
. .
.
.
（2）由题设及（1）知，在
中，由余弦定理得
. 所以
.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. 18. 如图，四边形位置，且
.
平面
；
为正方形，
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点到达点的
（1）证明：平面（2）求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
，利
【解析】分析：(1)首先从题的条件中确定相应的垂直关系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因为用线面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又PEF⊥平面ABFD.
平面ABFD，利用面面垂直的判定定理证得平面
(2)结合题意，建立相应的空间直角坐标系，正确写出相应的点的坐标，求得平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为，利用线面角的定义，可以求得
，得到结果.
详解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又又
平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
，所以BF⊥平面PEF.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，
的方向为y轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H−xyz.
由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得则
.
为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可. 19. 设椭圆
的右焦点为，过的直线与交于
的方程；
.
或
.
两点，点的坐标为
.
（1）当与轴垂直时，求直线（2）设为坐标原点，证明：【答案】(1) AM的方程为(2)证明见解析.
【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点的坐标为
或
，利用两点式求得直线
，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的方程；
(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较
直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 详解：（1）由已知得
，l的方程为x=1.
或或
. . .
. ，
.
，
由已知可得，点A的坐标为所以AM的方程为（2）当l与x轴重合时，
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为则由
，直线MA，MB的斜率之和为
得
.
将代入得 .
所以，.
则从而综上，
，故MA，MB的倾斜角互补，所以
.
.
.
点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
20. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所
有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
,求
，且各件产品是否为不合格品相互独立． 的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求
;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】】(1)(2) （i）490.
（ii）应该对余下的产品作检验.
【解析】分析：(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得
数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意(2)先根据第一问的条件，确定出
，之后对其求导，利用导的条件；
.
，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，
求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果. 详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为
.
令所以
，得
.当
. .
，
，即
时，
；当
时，
. .因此
的最大值点为
（2）由（1）知，
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知
.
所以
.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于
，故应该对余下的产品作检验.
点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
21. 已知函数
（1）讨论（2）若
．
的单调性； 存在两个极值点
时，
在
，证明：
单调递减.， 单调递减，在
单调递增.
．
【答案】（1）当当
时，
在
（2）证明见解析.
【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间； (2)根据
存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定
，令
，得到两个极值点
是方程
的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.
详解：（1）（i）若（ii）若
的定义域为
，
，或
时
，所以.
. 在
单调递减.
，则，令
，当且仅当得，
当时，；
当时，.所以在单调递减，在
单调递增.
（2）由（1）知，由于
存在两个极值点当且仅当
满足
，所以
.
，不妨设
，则
.由于
的两个极值点
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系
中，曲线的方程为
．
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线的极坐标方程为
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【答案】 (1）
（2）综上，所求的方程为【解析】分析：(1)就根据求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为
，半径为的圆，是过点
且关于轴对称的两条
，．
．
以及
，将方程
中的相关的量代换，
射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果. 详解：（1）由
．
（2）由（1）知是圆心为由题设知，是过点
，半径为的圆．
，
得的直角坐标方程为
且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在
圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只
有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以
，故
或
．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当
．
时，与没有公共点．
综上，所求的方程为
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.
23. [选修4–5：不等式选讲]
已知（1）当（2）若【答案】（1）（2）
．
代入函数解析式，求得
，利用零点分段将解析式化为
的解集为可以化为
； 时
，
.
时，求不等式时不等式
．
的解集；
成立，求的取值范围.
【解析】分析：(1)将
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式
(2)根据题中所给的
，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式
分情况讨论即可求得结果. 详解：（1）当
时，
，即
故不等式的解集为．
（2）当若若
，则当，
时
时的解集为
．
成立等价于当； ，所以
，故
时成立．
．
综上，的取值范围为
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.
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