简明物理习题详解 2016版 (2)

习题2

2.1 选择题

(1) 一质点作匀速率圆周运动时， （ ）

(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。

(B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。

(C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。

(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。

答案：(C)。

(2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。

(C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。

答案：(C)。

(3) 对功的概念有以下几种说法：

）

（

①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。

③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。

在上述说法中： （ ）

(A)①、②是正确的。

(B)②、③是正确的。

(C)只有②是正确的。

(D)只有③是正确的。

答案：(C)。

(4) 一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 （ ）

(A) 保持静止． (B) 向右加速运动．

(C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．

题2.1(4)图

m M 答案：(A)。

(5) 质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为 （ ）

(A) aA=0 , aB=0. (B) aA>0 , aB<0.

(C) aA<0 , aB>0. (D) aA<0 , aB=0.

F 题2.1(5)

B A 图

x

答案：(D)。

2.2填空题

(1) 质量为m的小球，用轻绳AB、BC连接，如图所示，其中AB水平．剪断绳AB前后的瞬间，绳BC中的张力比 T : T′＝____________．

题2.2(1)图

C 答案：

A m B l/cos2θ 质量为10 kg，受到方向不变的力F＝30＋40t (SI)

(2) 一物体

作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于________________；若物体的初速度大小为10

m/s，方向与力F的方向相同，则在2s末物体速度的大小等于___________________．

答案：140 N·s； 24 m/s，

(3) 某质点在力F(45x)i（SI）的作用下沿x轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m

的过程中，力F所做功为 。

答案：290J (4) 质量为m的物体在水平面上作直线运动，当速度为v时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。

v2;2s答案：v22gs.

(5) 在光滑的水平面内有两个物体A和B，已知mA=2mB。（a）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b）物体A以一定的动能Ek与静止的物体B发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。

2Ek3

答案：

Ek;2.3质量为m的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小

与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求：

(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

(2) 子弹进入沙土的最大深度．

解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律

dvdt

Kvm∴

Kdvdt,mvKdvdtmv0v0tv

∴

vv0eKt/m

(2) 求最大深度

dxdt

解法一：

v

xdxv0eKt/mdt

t

0dxv0eKt/mdt0

∴

x(m/K)v0(1eKt/m)

xmaxmv0/K

dvdvdxdvm()()mvdtdxdtdx

解法二：

KvmmdxdvK∴

xmax

dx0mdvKv00

∴ xmaxmv0/K

2.4一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．

vmg解: 物体置于斜面上受到重力，斜面支持力N.建立坐标：取0方向为X轴，平行斜

面与X轴垂直方向为Y轴.如题2.4图.

题2.4图

X方向： Fx0 xv0t ①

Y方向： Fymgsinmay ②

t0时 y0 vy0

y1gsint22

由①、②式消去t，得

12gsinx22v0

fy2.5质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，y＝-7 N，当t＝0时，xy0，vx＝-2 m·s-1，y＝0．求当t＝2 s时质点的(1)速度；(2)位矢．

v解：

axfx63ms2m168

ayfym7ms216

(1)

35vx'vxaxdt22ms1084277vy'vyaydt2ms10168

2于是质点在2s时的速度

57vij48ms1

(2)

11r(vxtaxt2)iayt2j221317(224)i()4j28216137ijm48

2.6 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a下滑，求m1，m2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为a1，其对于m2则为牵连加速度，又知m2对绳子的相对加速度为a，故m2对地加速度，

题2.6图

由图(b)可知，为 a2a1a ①

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有

m1gTm1a1 ②

Tm2gm2a2 ③

联立①、②、③式，得

(m1m2)gm2am1m2(mm2)gm1aa21m1m2mm(2ga)fT12m1m2 a1讨论 (1)若a0，则a1a2表示柱体与绳之间无相对滑动．

(2)若a2g，则Tf0，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时m1, m2均作自由落体运动．

v02.7 一质量为m的质点以与地的仰角=30°的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．

解: 依题意作出示意图如题2.7图

题2.7图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切

斜向下,

而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30，则动量的增量为

opmvmv0

由矢量图知，动量增量大小为

mv0，方向竖直向下．

F(102t)i2.8 作用在质量为10 kg的物体上的力为N，式中t的单位是s，(1)求4s

后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久．

t41p1Fdt(102t)idt56kgmsi00解: (1) ,沿x轴正向，

p1v15.6ms1imI1p156kgms1i

t(2)

I(102t)dt10tt22000

2亦即 t10t2000

解得t10s，(t20s舍去)

2.9 一质量为m的质点在xOy平面上运动，其位置矢量为

racostibsintj

求t＝0 到

t2时间内质点所受的合力的冲量．

解: 质点的动量为

pmvm(asintibcostj)

将t0和

t2分别代入上式，得

p1mbj,p2mai ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

Ipp2p1m(aibj)

v0ms12.10 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合

力为 F =(abt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量．

解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

ab

F(abt)0,得

t

(2)子弹所受的冲量

t1I(abt)dtatbt202

将

tab代入，得

a2I2b

(3)由动量定理可求得子弹的质量

Ia2mv02bv0

2.11 质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上，如图所示．今有一质量为m＝10 g的子弹以0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小＝30 m/s，设穿透时间极短．求：

(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；

(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

l 题2.11图

0 m M   解：(1) 因穿透时置．因此,作用于子弹、

间极短，故可认为物体未离开平衡位物体系统上的外力均在竖直方向，故

系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v

有 mv0 = mv+M v

v = m(v0 v)/M =3.13 m/s

T =Mg+Mv2/l =26.5 N

ftmvmv04.7Ns(2) (设

v0方向为正方向)

负号表示冲量方向与

v0方向相反．

2.12 质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）．

解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：

MVm(Vu)0

即

VmuMm

船走过的路程为

mmLVdtudtlMm0Mm0tt

但船与狗的位移方向相反

MlMm

故狗离岸的距离为

F合7i6jNSS0(lL)S02.13 设

r3i4j16kmF．(1) 当一质点从原点运动到时，求(1)所作

的功；(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率;(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．

F合解: (1)由题知，为恒力，

W合Fr(7i6j)(3i4j16k)∴

212445J

W4575wt0.6

(2)

P(3)由动能定理，EkW45J

2.14 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正

比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．

题2.14图

解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-14图，则铁钉所受阻力为

fky

第一锤外力的功为W1

k2 ①

W1sfdyfdykydys01式中f是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt0时，ff．

设第二锤外力的功为W2，则同理，有

12kky222 ②

W2kydy1y2由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故有

1kW2W1(mv2)22 ③

12kkky2222 即

所以， y22

于是钉子第二次能进入的深度为

yy2y1210.414cm

2.15 一根倔强系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根倔强系数为k2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如题2.15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．

题2.15图

解: 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有

FAFBMg

又 FAk1x1

FBk2x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

x1k2x2k1

弹性势能之比为

1k1x12k221k12k2x22

Ep1Ep22.16 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?

解: (1)设在距月球中心为r处F月引F地引，由万有引力定律，有

mM月r2mM地GGRr2

经整理，得

rM月M地M月R

7.35102224228=5.98107.35103.4810

638.3210m

则P点处至月球表面的距离为

hrr月(38.321.74)1063.66107m

(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为

M月rM地Rr

EPGG7.3510225.981024116.67106.6710738.43.83107 3.8310111.28106J

2.17如图所示，一质量为m的物体A放在一与水平面成角的固定光滑斜面上，并系于一劲度系数为k的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体沿斜面的运动中, 在平

衡位置处的初动能为EK0，以弹簧原长处为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，试求：

(1) 物体A处于平衡位置时的坐标x0．

(2) 物体A在弹簧伸长x时动能的表达式．

题2.17图

A 解：(1)

mgsinkx0x0mgsin/k

(2) 取弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点，则平衡位置处系统的机械能

12E0EK0kx0mgx0sin2 1ExEKkx2mgxsin2伸长x处系统的机械能

由机械能守恒定律， E0Ex

1EKEK0k[x(1/k)mgsin]22解出

2.18 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2.18图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度．

题2.18图

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

121mvMV222

mgR又下滑过程，动量守恒，以m、M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有

mvMV0

联立以上两式，得

v2MgRmM vvxivyj2.19 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为

, 质点受到一个沿x负方向

的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．

解: 由题知，质点的位矢为

rx1iy1j

作用在质点上的力为

ffi

所以，质点对原点的角动量为

L0rmv

(x1iy1j)m(vxivyj)

(x1mvyy1mvx)k

作用在质点上的力的力矩为

M0rf(x1iy1j)(fi)y1fk

1vi6jmsf5jN作用在2.20 物体质量为3kg，t=0时位于r4im, ，如一恒力

物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)角动量的变化．

3pfdt5jdt15jkgms10解: (1)

(2)解(一) xx0v0xt437

115yv0ytat2633225.5223

即 r14i,r27i25.5j

vxv0x1

5vyv0yat63113

v1i6jv即 ,2i11j

∴ L1r1mv14i3(i6j)72k

L2r2mv2(7i25.5j)3(i11j)154.5k

21LLL82.5kkgms21∴

dLMdt 解(二) ∵

ttLMdt(rF)dt00∴

152(4t)i(6tt)j5jdt02335(4t)kdt82.5kkgm2s130

2.21 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m 时的速率是v1＝5.46×104

m·s-1，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×102m·s-1

这时它

离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

r1mv1r2mv2

r1v18.7510105.4610412r25.2610m2v29.0810∴

2.22 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为

M1的重物．小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡．今在M1的下方再挂一质量

为M2的物体，如题2.22图．试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径r为多少?

题2.22图

解: 在只挂重物时M1，小球作圆周运动的向心力为M1g，即

M1gmr002 ①

挂上M2后，则有

(M1M2)gmr2 ②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．

即 r0mv0rmv

r020r2 ③

联立①、②、③得

0M1gmr0M1gM1M22()3mr0M11M1M2M1rg()3r02mM1M2