人教版数学中考复习《正方形的计算和证明问题》专项练习(含答案)

1. 提出问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在边AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；

综合运用：

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积。

2. 如图1，点O为正方形ABCD的中心。

（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90，点E的对应点为点F，连接EF，AE，

BF，请依题意补全图1；

（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；

（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，

EGF90，AB22，GE2，△EGF绕G点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值。

3. 如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）。点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动。连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D。BD与y轴交于点E，连接PE。设点P运动的时间为t（s）。

（1）∠PBD的度数为 ，点D的坐标为 （用t表示）； （2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值。

正方形的计算和证明问题专项练习

参考答案

1.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH。 ∴∠HAO+∠OAD=90°。 ∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°。 ∴∠HAO=∠ADO。 ∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴AE=DH。

（2）EF=GH。理由如下：

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF。 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH。

∵EF⊥GH， ∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH； （3）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD ∴∠AHO=∠CGO ∵FH∥EG ∴∠FHO=∠EGO ∴∠AHF=∠CGE ∴△AHF∽△CGE ∴∵EC=2 ∴AF=1

过F作FP⊥BC于点P， 根据勾股定理得EF=∵FH∥EG， ∴

∴FO=HO。 ∴

，

，

根据（2）知EF=GH，

，

∴阴影部分面积为2. 解：

。

（1）正确画出图形，如下图所示：

（2）延长交于点H，交BF于点G

∵O为正方形ABCD的中心， ∴OAOB，∠AOB＝90∴OEOF

∴∠AOB＝∠EOF＝90在△EOA和△FOB中，

∵OE绕点O逆时针旋转90角得到OF

∴∠EOA＝∠FOB

OEOF，OAOB，∠EOA＝∠FOB， ∴△EOA≌△FOB ∴AEBF

∴∠OEA＝∠OFB

∵∠OEA+∠OHA ∴∠OFB+∠FHG=90

∴AE⊥BF （3）BH的最大值为52 3. 解：（1）如图1，

由题意可得：AP=OQ=1×t=t ∴AO=PQ。

∵四边形OABC是正方形， ∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°。 ∵DP⊥BP， ∴∠BPD=90°。

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ。 ∵AO=PQ，AO=AB， ∴AB=PQ。

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD。 ∴AP=DQ，BP=PD。 ∵∠BPD=90°，BP=PD， ∴∠PBD=∠PDB=45°。 ∵AP=t， ∴DQ=t。

∴点D坐标为（t，t）。 故答案为：45°，（t，t）。

（2）①若PB=PE， 则∠PBE=∠PEB=45°。 ∴∠BPE=90°。 ∵∠BPD=90°， ∴∠BPE=∠BPD。 ∴点E与点D重合。 ∴点Q与点O重合。

与条件“DQ∥y轴”矛盾， ∴这种情况应舍去。 ②若EB=EP， 则∠PBE=∠BPE=45°。 ∴∠BEP=90°。

∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC。 在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB。 ∴OE=BC，OP=EC。 ∴OE=OC。

∴点E与点C重合（EC=0）。 ∴点P与点O重合（PO=0）。 ∵点B（﹣4，4）， ∴AO=CO=4。 此时t=4。 ③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）。 ∴AP=CE。 ∵AP=t， ∴CE=t。 ∴PO=EO=4﹣t。 ∵∠POE=90°， ∴PE=PO2EO2 =2（4﹣t）。

延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示。

在△FAB和△ECB中，

ABCBBAFBCE90 AFCE∴△FAB≌△ECB。 ∴FB=EB，∠FBA=∠EBC。 ∵∠EBP=45°，∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠EBC=45°。 ∴∠FBP=∠FBA+∠ABP =∠EBC+∠ABP=45°。 ∴∠FBP=∠EBP。 在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP。 ∴FP=EP。

∴EP=FP=FA+AP=CE+AP。 ∴EP=t+t=2t。 ∴2（4﹣t）=2t。 解得：t=42﹣4

∴当t为4秒或（42﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形。 （3）∵EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE =AO+CO =4+4 =8。

∴△POE的周长是定值，该定值为8。