某SUV车架多目标拓扑优化设计

第２１卷第５期　２０１２年１０月　计算机辅助工程　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ａｉｄｅｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖ０１．２１　Ｎｏ．５　０ｃｔ．２０１２　文章编号：１００６—０８７１（２０１２）０５—００２０—０５　某ＳＵＶ车架多目标拓扑优化设计　向湘林，　左孔天，　向宇，　曾昭贤　（广西科技大学汽车与交通学院，广西柳州５４５００６）　摘要：为得到同时满足刚度和动态要求的ＳＵＶ车架，基于ＳＩＭＰ材料插值方法，分别以刚度最大和　低阶模态固有频率最大作为优化目标建立拓扑优化模型，利用折中规划法建立多工况下刚度和低　阶固有频率多目标优化模型，通过拓扑优化迭代得到新的ＳＵＶ车架；对新车架进行仿真分析，得到　其位移和应力分布及前４阶固有频率．其静态特性满足材料要求且有很大提高，第１阶固有频率提　高到３０．３　Ｈｚ，新车架质量减轻到１９３．３　ｋｇ．计算结果表明该方法能够很好地解决多目标下的结构　优化问题．　关键词：ＳＵＶ车架；刚度；动态特性；静态特性；ＳＩＭＰ材料插值；固有频率；折中规划；拓扑优化　中图分类号：Ｕ４６３．８２；Ｏ２４１．８２　文献标志码：Ｂ　Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊ　ｅｃｔｉｖｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｎ　ＳＵＶ　ｆｒａｍｅ　ＸＩＡＮＧ　Ｘｉａｎｇｌｉｎ，ＺＵＯ　Ｋｏｎｇｔｉａｎ，ＸＩＡＮＧ　Ｙｕ，ＺＥＮＧ　Ｚｈａｏｘｉａｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ａｕｔｏｍｏｂｉｌｅ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ　５４５００６，Ｇｕａｎｇｘｉ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏ　ｄｅｓｉｇｎ　ａ　ＳＵＶ　ｆｒａｍｅ　ｗｈｉｃｈ　ｍｅｅｔｓ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ＳＩＭＰ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ　ａｒｅ　ｂｕｉｌｔ　ｏｆ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｔａｒｇｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｌｏｗ—ｏｒｄｅｒ　ｍｏｄｅ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｒｏｍｉｓｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉＳ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ａ　ｍｕｌｔｉ．ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｎａｔｕｒａｌ　ｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｌｏｗ—ｏｒｄｅｒ　ｕｎｄｅｒ　ｍｕｌｆｔｉｐｌｅ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ａ　ｎｅｗ　ＳＵＶ　ｆｌａｍｅ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｔｅｒａｔｉｏｎ．Ｂｙ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｆｌａｍｅ，ｔｈｅ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｓｔｒｅｓｓ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｆｉｒｓｔ　ｆｏｕｒ　ｏｒｄｅｒｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｃａｎ　ｍｅｅｔ　ｔｈｅ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ　ａｎｄ　ａｒｅ　ｇｒｅａｔｌｙ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ；ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｏｒｄｅｒ　ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｉｓ　ｉｎｃｒｅａｓｅｄ　ｔｏ　３０．３　Ｈｚ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｎｅｗ　ｆｌａｍｅ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　１　９３．３　ｋｇ．Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｕｎｄｅｒ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｏｂｊｅｃｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＳＵＶ　ｆｌａｍｅ；ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ；ｄｙｎａｍｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；ｓｔａｔｉｃ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；ＳＩＭＰ　ｍａｔｅｒｉａｌ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；ｃｏｍｐｒｏｍｉｓｅ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　０　引　—口　　拓扑优化作为一种创新型设计方法，可以根据　优化目标得到结构材料的最佳布局．拓扑优化用于　收稿日期：２０１２—０５—０３修回日期：２０１２—０５－２４　产品的概念设计阶段，通过拓扑优化得出新结构，为　后面的设计提供参考．目前，对结构的拓扑优化研究　主要以单目标优化为主，但是在实际的工程结构优　化设计中存在很多多目标拓扑优化问题，因此对结　作者简介：向湘林（１９８６一），男，湖南邵阳人，硕士研究生，研究方向为汽车结构拓扑优化设计，（Ｅ－ｍａｉｌ）ｘｉａｎｇｌｉｎｌ２＠１２６　ｃｏｍ；　左孔天（１９７３一），男，湖北武汉人，研究员，博士，研究方向为优化理论和算法研究与结构优化设计和应用，（Ｅ—ｍａｉｌ）ｚｕｏｋｔ＠１６３．（！Ｏｌｌｒｌ　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｈｉｎａｅａｅ．（　ｎ　第５期　向湘林，等：某ＳＵＶ车架多目标拓扑优化设计　２１　构进行多目标设计有重要意义．目前，对多目标优化　问题的处理主要采用加权方法，把多目标问题转化　为单目标问题进行拓扑优化．ＨＡＱＵＥｌ１　利用加权方　法对离散的桁架结构进行多目标优化设计；　ＡＮＤＥＲＳＳＯＮ　把加权方法应用到流体结构的多目　标优化中；左孔天等　。　利用线性加权方法解决柔性　机构和传热机构的多目标设计问题．　ＳＵＶ汽车经常在各种复杂路况上行驶，在行驶　过程中同时受到弯曲、扭转等多种载荷．为保证汽车　的安全性，车架作为整车的承载体，需要具有足够的　强度、刚度，同时需要有良好的动态特性以保证承载　舒适性等．所以，在车架设计过程中同时考虑刚度和　动态特性显得非常重要．　本文基于ＳＩＭＰ材料插值方法，同时考虑车架　的多工况刚度和固有频率，建立车架多目标拓扑优　化数学模型，利用ＨｙｐｅｒＷｏｒｋｓ的ＯｐｔｉＳｔｒｕｃｔ模块，对　该ＳＵＶ车身进行多目标拓扑优化设计，得到同时满　足刚度和固有频率要求的新型车架．　１　多目标模型建立　拓扑优化中常见的变密度材料插值模型有　ＳＩＭＰ和ＲＡＭＰ等．Ｅ５］ＯｐｔｉＳｔｒｕｃｔ基于ＳＩＭＰ材料插值　模型进行拓扑优化设计，简单且易于编程实现．　ＳＩＭＰ材料插值模型主要通过惩罚因子在材料的弹　性模量和单元相对密度之间建立一种非线性关系，　对（０，１）区间的单元密度进行惩罚，使其向两端靠　拢，从而使连续变量设计方法很好地逼近离散优化　设计．　１．１　多工况车架刚度拓扑优化模型　首先以多工况下刚度最大作为优化目标建立车　架的拓扑优化模型，因为刚度最大问题等效于柔度　最小问题，所以把柔度最小作为优化目标．弯曲和弯　扭工况是反映车架刚度的主要工况，本文主要研究　弯曲和弯扭这２种工况对车架的影响．在ＳＩＭＰ模　型下，以结构的最小柔度为优化目标，可得到结构刚　度的单工况优化模型为　ｆｉｎｄ　＝｛　ｌ，　２，…，　｝Ｔ∈Ｒ　Ｎ　Ｎ　ｍｉｎ　Ｃ＝Ｕ　ＫＵ＝∑ｕｅｋ　＝∑（　）　ｕ￣ｋ。“。　ｅ＝１　ｅ＝１　Ⅳ　ｓ．ｔ．∑Ｘｅ　＜＜－ｌｅｏ　ＫＵ＝Ｆ２，０＜　ｉ　≤　≤　式中：　为单元相对密度；Ｒ”为实数；Ｃ为结构的总　体柔度；Ｕ为单元的位移；　为第ｅ个单元的相对密　度；Ｐ为惩罚因子；Ｕ　为单元位移列矢量；　为优化　后的总刚度矩阵；　。为优化后结构单元刚度矩阵；ｋ　为优化前结构单元刚度矩阵；Ｆ　为力矢量ｉ厂为优化　体积比；Ｖｏ为结构的原体积；Ｖ　为优化后的结构体　积；　…为单元密度的最大值；　…为单元密度的最小　值；Ｎ为离散单元的数目．　本文主要讨论弯曲和弯扭这２种工况，每个工　况的约束条件都不一样，通过拓扑优化可以得到不　同的拓扑结构，所以多工况下刚度优化也属于多目　标优化问题．采用折中规划法　解决多目标优化问　题，折中规划法在计算时同时考虑设计变量对多个　目标的影响，通过折中选择优化数值将多目标优化　问题转化为单目标优化问题，能够得到保证多个目　标同时达到最优的折中解．通过折中规划法得到多　工况下柔度最小优化模型为　ｆｉｎｄ　＝　｛　ｌ，　２，……　｝　∈Ｒ　ｍｉｎ　Ｃ（ｏｒ）＝　２Ｃｌ（Ｏ．）＿＿ｃｌｉｎ　２　１　，ｖ　ｓ．ｔ．∑Ｘｅ　＜￣ＪＶｏ　ｅ＝ｌ　ＫＵ＝Ｆ２，０＜　ｉ　≤　。≤　（２）　式中：Ｃ，（ｏｒ）和Ｃ　（ｏｒ）分别为弯曲和弯扭工况的柔　度值；Ｃｍ　和Ｃ　ｎ　Ｊ分别为弯曲工况下柔度的最小和　最大值；Ｃ：ｍ　和Ｃ　“分别为弯扭工况下柔度的最小　和最大值；　和　分别为弯曲和弯扭工况的权重　系数，由于弯扭工况是最危险的工况，其弯扭刚度对　整车影响最大，　和　分别取０．４和０．６．　１．２动态特性低阶模态优化模型　车架的动态特性主要以低阶模态振型和固有频　率体现，以动态特性低阶模态固有频率最大作为优　化目标，通过提高车架的动态特性避免共振，为乘客　提供舒适性．低阶模态固有频率最容易与外界发生　振动频率接近，所以在对车架进行拓扑优化设计时，　对车架的低阶固有频率设计在一定范围内，这就是　以动态特性低阶模态作为优化目标的拓扑优化问　题．　目前，结构动力学拓扑优化的最常见形式是　最大化结构的最小特征值，所以车架动态特性低阶　模态固有频率最大优化模型为　２２　计算机辅助工程　２０１２年　ｆｉｎｄ　＝　｛　ｌ，　２，……　｝Ｔ∈Ｒ　ｍａｘ　Ａ　ｉ　＝｛ｍｉｎ（Ａ１，Ａ２，……，Ａ　）｝　１．３　多工况刚度和低阶固有频率多目标优化模型　同时将车架的刚度和低阶固有频率作为优化目　ｓ．ｔ．∑　￣＜Ｊｖｏ　ｅ　Ｉ　（３）　标，通过拓扑优化计算得到同时满足刚度和模态要　求的新型车架．通过折中规划法把多工况下的弯曲　工况刚度和弯扭工况刚度以及低阶固有频率的多目　（Ｋ—Ａ　）　＝０　０＜　ｍｊ　≤　。≤　…　标优化问题转化为单目标优化问题，最后得到的同　时满足刚度和固有频率优化目标的优化模型为　式中：　为与第　阶特征值Ａ，相关的特征向量；　为系统的质量矩阵．　ｆｉｎｄ　＝｛　ｌ，　２，……　｝Ｔ∈Ｒ　ｍｉｎ　＝（　（　（　ｓ．ｔ．∑Ｘｅ　≤　）　＋　ｉ（　）　＋（１－－Ｏ））２（　≤　≤　…　）　）　４　（Ｋ—Ａ，　）哆＝０，ＫＵ＝Ｆ，０＜　式中：　和Ｌｍｉｎ分别为车架模态频率拓扑优化的最　大和最小频率值；∞表示多工况刚度优化的权重　系数．　原有的托架位置不变，避免新车架与原车身部件发　生干涉，从而避免对车架以外的部件进行重新设计，　采用实体单元对该车架进行网格划分，得到ＳＵＶ车　架的拓扑优化模型，见图２．　２　ＳＵＶ车架拓扑模型建立　本文研究的ＳＵＶ为非承载式车身，发动机、转　向器和变速器等车身部件全部安装在车架上．所有　车身部件通过托架与车架连接，原ＳＵＶ车架ＣＡＥ　模型见图１．车架所承载的质量按其位置以垂直载　荷分别加载到相应的托架上，并分别从弯曲和弯扭　工况分析该车架的性能，这２种工况下的约束条件　见表Ｉ．　图２　ＳＵＶ车架的拓扑优化模型　Ｆｉｇ．２　Ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ＳＵＶ　ｋａｍｅ　３　ＳＵＶ车架的多目标拓扑优化计算　在ＯｐｔｉＳｔｒｕｃｔ中，以自定义函数的形式将各拓扑　优化目标函数输入软件中作为优化目标，进行拓扑　优化迭代计算．　以多工况下柔度最小作为优化目标，通过对该　图１　原ＳＵＶ车架ＣＡＥ模型　Ｆｉｇ．１　ＣＡＥ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ＳＵＶ　ｆｌａｍｅ　ＳＵＶ车架进行拓扑优化计算，分别得到弯曲和弯扭　工况的拓扑结构，见图３和４．　表１各工况约束　Ｔａｂ．１　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ　ｏｆ　ｅａｃｈ　ｗｏｒｋｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　悬架位置　弯曲工况　弯扭工况　左前悬架　右前悬架　左后悬架　右后悬架　．Ｙ－　Ｘ．Ｚ　Ｙ，　，ｙ，ｚ　．　Ｙ，０　图３弯曲工况下车架拓扑结构　以原车架为基础，建立车架拓扑优化模型，保持　Ｆｉｇ．３　Ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｆ　ａｍｅ　ｕｎｄｅｒ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　计表２前４阶固有频率　算机辅助工程　２０１２益　的２１１　ｋｇ减轻到１９３．３　ｋｇ　Ｈｚ　Ｔａｂ．２　Ｎａｔｕｒａｌ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｏｆ　ｆｉｒｓｔ　ｆｏｕｒ　ｏｒｄｅｒｓ　¨　１Ｊ　ｌ４　结束语　建立同时满足车架刚度和动态特性固有频率的　多目标优化模型，利用ＯｐｔｉＳｔｒｕｃｔ对该ＳＵＶ车架进　行拓扑优化设计，最后得到一种类似ｘ形的新型稳　定车架．对新车架进行静态和动态特性分析，得出新　阶数　１　２　３　４　固有频率　３１．Ｏ３　３３．６５　３６．０４　５６．７８　由图９和１０可知，重建后的ＳＵＶ车架静态性　能均能很好地符合材料性能要求，而且性能有很大　的提高；同时该车架的固有频率也有很大改善，由表　车架很好地满足整体刚度和低阶固有频率要求，很　好地提高车架的性能要求，同时质量减轻，满足轻量　化要求．　２可知，该新车架１阶固有频率提高到３１．０３　Ｈｚ，动　态特性提高非常明显；同时该重建车架质量由原来　参考　文献：　［１］　ＨＡＱＵＥ　Ｍ　Ｉ．Ｏｐｔｉｍａｌ　ｆｒａｍｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｎｌｅｎｌｂｅｒｓ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９６，５９（５）：８４７－８５８．　『２］　ＡＮＤＥＲＳＳＯＮ　Ｊ．Ｏｎ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｅｓｉｇｎ：ａ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｄ］．Ｌｉｎｋｓｐｉｎｇ：Ｌｉｎｋｓｐｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１　９９９．　３　１　左孔天，赵雨东，钟毅芳，等．微型柔性机构的多目标计算机辅助拓扑优化设计［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学学报，２００６，１８（６）：　８５４—８５９．　ＺＵＯ　Ｋｏｎｇｔｉａｎ，ＺＨＡＯ　Ｙｕｄｏｎｇ，ＺＨＯＮＧ　Ｙｉｆａｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ—ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｉａｎｔ　ｍｉｃｒｏ・ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｔｉ—ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｔｏｐｏｈ）ｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ・Ａｉｄｅｄ　Ｄｅｓ＆Ｃｏｍｐｕｔ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ，２００６，１８（６）：８５４—８５９．　［４］　左孔天，赵雨东，陈立平．传热结构的多目标拓扑优化设计研究［Ｊ］．计算力学学报，２００７，２４（５）：６２０－６２８．　ＺＵＯ　Ｋｏｎｇｔｉａｎ，ＺＨＡＯ　Ｙｕｄｏｎｇ，ＣＨＥＮ　Ｌｉｐｉｎｇ．Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｏｂｊｅｃｔｉｖｅ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅｒｍａｌ　ｃｏｎｄｕｃｔｉｖｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ］．Ｃｈｉｎ　Ｊ　Ｃｏｍｐｕｔ　Ｍｅｃｈ，２００７，２４（５）：６２０－６２８．　［５］　左孔天．连续体结构拓扑优化理论与应用研究［Ｄ］．武汉：华中科技大学，２００４．　［６］　ＣＨＥＮ　Ｔ　Ｙ，ｗｕ　ｓ　Ｃ．Ｍｕｈｉｏｂｊｅｅｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｔｏｐｏｌｏｇｙ　ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ　Ｍｅｃｈ，１９９８，２１（６）：４８３－４９２．　［７］　罗震．基于变密度法的连续体结构拓扑优化设计技术研究［Ｄ］．武汉：华中科技大学，２００５．　（编辑　武晓英）　（上接第１４页）　参考文献：　周劲松，宫岛，孙文静，等．铁道客车车体垂向弹性对运行平稳性的影响［Ｊ］．铁道学报，２００９，３１（２）：３２—３７．　ＺＨＯＵ　Ｊｉｎｓｏｎｇ，ＧＯＮＧ　Ｄａｏ，ＳＵＮ　Ｗｅｎｊｉｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ　ｏｆ　ｃａｒ　ｂｏｄｙ　ｏｆ　ｒａｉｌｗａｙ　ｐａｓｓｅｎｇｅｒ　ｖｅｈｉｃｌｅｓ　ｏｎ　ｒｉｄｅ　ｑｕａｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｊ　Ｃｈｉｎａ　Ｒａｉｌｗａｙ　Ｓｏｃ，２００９，３１（２）：３２－３７．　ＴＡＫＩＧＡＭＩ　Ｔ，ＴＯＭＩＯＫＡ　Ｔ．Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｓｕｐｐｒｅｓｓ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒａｉｌｗａｙ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｃａｒ　ｂｏｄｉｅｓ　ｕｓｉｎｇ　ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｒａｉｌｗａｙ　Ｔｅｃｈ　Ｒｅｓ　Ｉｎｓｔ，２００５，４６（４）：２２５－２３０．　陆佑方．汽车柔性多体系统动力学建模综述［Ｊ］．汽车技术，１９９７（５）：１－７．　ＬＵ　Ｙｏｕ￣ｎｇ．Ａ　ｓｕｍｍａ￣ｏｆ　ｍｏｄｅｌ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ａｕｔｏｍｏｔｉｖｅ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｍｕｌｔｉ　ｂｏｄｙ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｙｎａｍｉｃｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍｏｂｉｌｅ　Ｔｅｃｈ，１９９７（５）：１－７．　ＧＵＹＡＮ　Ｒ　Ｊ．Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｎｌａｓｓ　ｍａｔｒｉｃｅｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡ　Ｊ，１９６５，３（２）：１１３３－１１４５．　王福天，周劲松，任利惠．用于高速车辆动态仿真的轨道谱分析［Ｊ］．铁道学报，２００２，２４（５）：２１－２７．　ＷＡＮＧ　Ｆｕｔｉａｎ，ＺＨＯＵ　Ｊｉｎｓｏｎｇ，ＲＥＮ　Ｌｉｈｕｉ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｔｒａｃｋ　ｓｐｅｃｔｕｍ　ｄｅｎｓｉｒｔｙ　ｆｏｒ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｈｉｇｈ—ｓｐｅｅｄ　ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｊ　Ｃｈｉｎａ　Ｒａｉｌ—　ｗａｙ　Ｓｏｃ，２００２，２４（５）：２１—２７．　ＧＢ　５５９９—１９８５铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范［ｓ］．　周劲松，孙文静，宫岛．铁道车辆几何滤波现象及弹性车体共振分析［Ｊ］．同济大学学报：自然科学版，２００９，３７（１２）：１６５３　１６５７．　ＺＨＯＵ　Ｊｉｎｓｏｎｇ，ＳＵＮ　Ｗｅｎｊｉｎｇ，ＧＯＮＧ　Ｄａｏ．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ　ａｎｄ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｅａｒ　ｂｏｄｙ　ｒｅｓｏｎａｎｔ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒａｉｌｗａｙ　ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｊ　Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖ：Ｎａｔ　Ｓｃｉ，２００９，３７（１２）：１６５３．１６５７．　（编辑于杰）　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｈｉｎａｃａｅ．ｏｎ