解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
◆类型一 特殊四边形中求最值、定值问题 一、利用对称性求最值【方法10】 1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．
第1题图 第2题图
2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．
二、利用面积法求定值
3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．
【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和 (1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．
变式题(1)图 变式题(2)图
(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．
◆类型二 正方形中利用旋转性解题 4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．
5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF
1
＝S△ABE＋S△ADF.
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.
求证：BP＋CP＝2OP.
参考答案与解析
2
1.
24
解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP5
＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当11
DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，
22∴AB＝5.∵S24
值为.
5
菱形
1124＝AC·BD＝AB·DE，∴×8×6＝5·DE，∴DE＝.∴DP＋PQ的最小ABCD
225
2．6 解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.
3.
24
解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，5
1OB·PFOC·PE
∴OB＝OC＝AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴＋＝S△OBC，
2225·PF5·PE1
∴＋＝S△OBC.∵S△OBC＝S
22424∴PE＋PF＝.
5
矩形
ABCD＝
115·PF5·PEAB·BC＝×6×8＝12，∴＋＝12，4422
5
【变式题】(1) 解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD
2251255＝.连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴×10(PE＋PF)＝，∴PE＋PF＝. 2222
3
(2)
2BE·PM 解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴＋22
BC·PNBC·EHPMPNEH＝.又∵BE＝BC，∴＋＝，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三22222角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝
22
，∴PM＋PN＝EH＝. 22
4．32
5．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.
6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.
4
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