一、选择题
1． 与椭圆A．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ C．
B． D．
有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
2． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个 3． 求值：A．tan 38°
B．
=（ ）
C．
的图象是（ ）
D．﹣
4． 如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x
A．① B．② C．③ D．④
5． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 6． 函数y=A．{x|x≥﹣1}
+
的定义域是（ ）
B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}
C．（4，﹣3，1）
D．（﹣5，3，4）
7． 空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（ ） A．（4，1，1） B．（﹣1，0，5） A．﹣1+i
B．﹣1﹣i
8． 设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（ ）
C．1+i D．1﹣i
第 1 页，共 15 页
9． 袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球 C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红、黑球各一个 如下，则它的左（侧）视图是（ ）
10．已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图
A．
2
2B． C． D．
11．若圆xy6x2y60上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为， 则a（ ）
A． 1 B． 12．设命题p：A．C．
B． D．
，则
23 C．2 D． 42p为（ ）
二、填空题
13．已知，是空间二向量，若
633=3，||=2，|﹣|=，则与的夹角为 ．
2
14．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数fxlnxx的单调递增区间为__________． 15．若(mxy)展开式中xy的系数为160，则m__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
16．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，
*
在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
第 2 页，共 15 页
17．已知双曲线的标准方程为为 ．
，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程
18．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ．
三、解答题
19．已知=（
sinx，cosx），=（sinx，sinx），设函数f（x）=
﹣ ．
（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间； （2）求f（x）在区间[π，
]上的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.
21．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn公式； （Ⅱ）求数列{
22．已知函数f（x）=lnx﹣a（1﹣），a∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
}的前n项和Tn．
第 3 页，共 15 页
（Ⅱ）若f（x）的最小值为0． （i）求实数a的值；
（ii）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记[x]表示不大于x的最大整数，求证：n＞1时[an]=2．
23．已知函数f（x）=x﹣1+
（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．
24．（本题满分15分）
如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；
（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.
【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．
第 4 页，共 15 页
25．在等比数列{an}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．
26．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=为AD的中点，且CD⊥A1O （Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为由．
？若存在，求出BP的长；不存在，说明理
．若O
第 5 页，共 15 页
东乡县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
222
则c=13﹣12=25
则c=5
又∵双曲线的离心率∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上， ∴双曲线的方程为：故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，
22
若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx+ny=1（m＞0，n＞0，m≠n），双22
曲线方程可设为mx﹣ny=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
2． 【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N，
*
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B
3． 【答案】C
【解析】解：故选：C．
=tan（49°+11°）=tan60°=
，
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题． 4． 【答案】D
【解析】解：幂函数y=x只有④符合．
为增函数，且增加的速度比价缓慢，
第 6 页，共 15 页
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
5． 【答案】A 【解析】
考
点：棱锥的结构特征． 6． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3， 故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
7． 【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
8． 【答案】A
【解析】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i， ∴z=故选A．
【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．
9． 【答案】D
=﹣1+i
第 7 页，共 15 页
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有： 2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况， 所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥； 至少有一个白球，至少有一个红球不互斥； 至少有一个白球，没有白球互斥且对立； 故选：D
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件， 【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
10．【答案】A
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A．
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
11．【答案】B 【解析】
试题分析：由圆xy6x2y60，可得(x3)(y1)4，所以圆心坐标为(3,1)，半径为r2，要使得圆上有且仅有三个点到直线axy10(a是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于
22221r，即23aa211，解得a2，故选B. 1 4考点：直线与圆的位置关系.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于是解答的关键.
12．【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，
p为：
。
1r2第 8 页，共 15 页
故答案为：A
二、填空题
13．【答案】 60° ．
【解析】解：∵|﹣|=∴∴
=3，
＞=
=
，
∴cos＜∵
∴与的夹角为60°． 故答案为：60° 表示式．
14．【答案】0,【点评】本题考查平面向量数量积表示夹角和模长，本题解题的关键是整理出两个向量的数量积，再用夹角的
2 2【解析】15．【答案】2
333【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．
16．【答案】 ．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，
，又
，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
第 9 页，共 15 页
17．【答案】 （±
【解析】解：双曲线c=
=2
，
，0） y=±2x ．
的a=2，b=4，
，0），
可得焦点的坐标为（±
渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±
，0），y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
18．【答案】 35 ．
【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，
又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3， 又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1， ∴S10=10a1+故答案为：35．
【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．
=35．
三、解答题
19．【答案】
sinx，cosx），=（sinx，sinx），
=
（k∈Z）解得kπ﹣
，kπ+
≤x≤kπ+
，
= ﹣
cos2x+sin2x﹣
=sin
【解析】解：（1）∵=（∴f（x）=（2x﹣
﹣
=
sin2x+sinxcosx﹣ =π， ≤2kπ+
（1﹣cos2x）+sin2x﹣
），
∴函数的周期为T=由2kπ﹣
≤2x﹣
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣]，（k∈Z）；
第 10 页，共 15 页
（2）由（1）知f（x）=sin（2x﹣当x∈[π，∴﹣
]时，2x﹣
∈[
，
）， ]，
．
≤sin（2x﹣）≤1，
故f（x）在区间[π，]上的最大值和最小值分别为1和﹣
【点评】本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题． 20．【答案】k3或k2. 【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得kPA2，kPB3，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.
11122，kPB3 1210所以，由图可知，过点P1,1的直线与线段AB有公共点,
试题解析：由已知，kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.
考点：直线的斜率公式.
21．【答案】
22
【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax﹣3x+6）＞2可转化为ax﹣3x+2＞0，
2
所给条件表明：ax﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义 2
可知：方程ax﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
2
由此知an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，sn=n…（6分）
（Ⅱ）令
第 11 页，共 15 页
则 =
…（12分）
【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．
22．【答案】
=
．
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=﹣当a≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）内单调递增； 当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a；由f′（x）＜0，解得0＜x＜a． 所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）． 综上述：a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+∞）． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）无最小值，不合题意； 当a＞0时，[f（x）]min=f（a）=1﹣a+lna=0， 令g（x）=1﹣x+lnx（x＞0），则g′（x）=﹣1+=
，
由g′（x）＞0，解得0＜x＜1；由g′（x）＜0，解得x＞1．
所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）． 故[g（x）]max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0． 因此，a=1．
（ⅱ）因为f（x）=lnx﹣1+，所以an+1=f（an）+2=1+
+lnan．
由a1=1得a2=2于是a3=+ln2．因为＜ln2＜1，所以2＜a3＜． 猜想当n≥3，n∈N时，2＜an＜． 下面用数学归纳法进行证明．
①当n=3时，a3=+ln2，故2＜a3＜．成立．
②假设当n=k（k≥3，k∈N）时，不等式2＜ak＜成立． 则当n=k+1时，ak+1=1+
+lnak，
由（Ⅰ）知函数h（x）=f（x）+2=1++lnx在区间（2，）单调递增， 所以h（2）＜h（ak）＜h（），又因为h（2）=1++ln2＞2， h（）=1++ln＜1++1＜．
故2＜ak+1＜成立，即当n=k+1时，不等式成立．
第 12 页，共 15 页
根据①②可知，当n≥3，n∈N时，不等式2＜an＜成立． 综上可得，n＞1时[an]=2．
【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+
，得f′（x）=1﹣
，
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣（Ⅱ）f′（x）=1﹣
=0，解得a=e． ，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna，
x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+
，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+
，
则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（
）=﹣1+
＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=所以k的最大值为1．
＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分 ∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分 又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分
∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分
11（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCEdSBCD，解得
3324．【答案】（1）详见解析；（2）
第 13 页，共 15 页
d32，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， 2d3146.…………15分 BEBC2CE273，则sinBE14625．【答案】
【解析】解：由已知可得方程组
=，
，
第二式除以第一式得
2
整理可得q+4q+4=0，解得q=﹣2．
26．【答案】
【解析】满分（13分）． （Ⅰ）证明：∵∠A1AD=∴A1O=∴
+AD2=AA12，
，且AA1=2，AO=1，
=
，…（2分）
∴A1O⊥AD．…（3分） 又A1O⊥CD，且CD∩AD=D， ∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）， 则A（0，﹣1，0），A1（0，0，∵且取z=1，得
=
=
，
．…（8分）
），…（6分）
=（x，y，z），
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为
=（1，m+1，0），
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1 ∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD， ∴CD⊥平面A1ADD1． 不妨设平面A1ADD1的法向量为由题意得
=
=（1，0，0）．…（10分） =
，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为
．…（13分）
第 14 页，共 15 页
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
第 15 页，共 15 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容